Случай общего уравнения прямых линий
Глава 4
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование
Общее уравнение прямой на плоскости
Определение 29.1: Под прямой линией будем понимать геометрическое место точек l такое, что для любых двух точек M и M из данного множества вектор
коллинеарен заданному ненулевому вектору
.
(29.5)
и (29.6)
ЗАДАЧА. Доказать, что если векторы и
ортогональны некоторому вектору
, то
и
коллинеарные.
Определение 29.2: Уравнение (29.5) с условием (29.6) называется общим уравнением прямой линии на плоскости.
Определение 29.3: А вектор называется нормальным вектором (или нормалью) к прямой l, заданной уравнением (29.5).
Как уже было показано, вектор , то есть
Исследование общего уравнения прямой на плоскости
(29.9)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
(29.10)
Определение 29.4: Поэтому уравнение (29.10) называется уравнение прямой с угловым коэффициентом (а множитель k- её угловым коэффициентом).
К уравнению 29.10 можно свести всякую прямую, не коллинеарную оси ординат (если OY, то есть l
OX , то
и
).
Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
Случай уравнения прямых с угловыми коэффициентами
![]() |
|
![Случай общего уравнения прямых линий Случай общего уравнения прямых линий - student2.ru](/images/matematika/sluchay-obshhego-uravneniya-pryamykh-liniy-371651-25.gif)
![Случай общего уравнения прямых линий Случай общего уравнения прямых линий - student2.ru](/images/matematika/sluchay-obshhego-uravneniya-pryamykh-liniy-371651-26.gif)
![Случай общего уравнения прямых линий Случай общего уравнения прямых линий - student2.ru](/images/matematika/sluchay-obshhego-uravneniya-pryamykh-liniy-371651-27.gif)
(30.4)
То есть угол между прямыми
и
можно найти по формуле (30.4).
|
![Случай общего уравнения прямых линий Случай общего уравнения прямых линий - student2.ru](/images/matematika/sluchay-obshhego-uravneniya-pryamykh-liniy-371651-31.gif)
![Случай общего уравнения прямых линий Случай общего уравнения прямых линий - student2.ru](/images/matematika/sluchay-obshhego-uravneniya-pryamykh-liniy-371651-32.gif)
1. Условие параллельности: (см. черт. 30.2)
(30.5)
(и , иначе
)
2. Условие перпендикулярности:
(см. чертеж 30.1)
(см. равенство(30.4))
(30.6)
3.Точка пересечения прямых и
.
Абсциссу точки пересеченияпрямых можно найти приравняв, правые части уравнений (30.1) и (30.2):
Решая уравнение (30.7), получим
А подставив полученную в (30.8) абсциссу точки пересечения прямых в уравнение (30.1) (или в (30.2)), найдем и ординату их точки пересечения :
=
Случай общего уравнения прямых линий
| |||
![]() | |||
Пусть прямые
и
заданы уравнениями:
|
|
![Случай общего уравнения прямых линий Случай общего уравнения прямых линий - student2.ru](/images/matematika/sluchay-obshhego-uravneniya-pryamykh-liniy-371651-62.gif)
(30.12)
Координаты точки пересечения прямых и
можно найти, решая систему из двух линейных уравнений (30.10) и (30.11). По формулам Крамера (см. §8) имеем:
|
![Случай общего уравнения прямых линий Случай общего уравнения прямых линий - student2.ru](/images/matematika/sluchay-obshhego-uravneniya-pryamykh-liniy-371651-68.gif)
![Случай общего уравнения прямых линий Случай общего уравнения прямых линий - student2.ru](/images/matematika/sluchay-obshhego-uravneniya-pryamykh-liniy-371651-69.gif)
![Случай общего уравнения прямых линий Случай общего уравнения прямых линий - student2.ru](/images/matematika/sluchay-obshhego-uravneniya-pryamykh-liniy-371651-70.gif)
y=
Для взаимного расположения прямых и
рассмотрим матрицы:
и
1. =
(30.14).
2. ||
(30.15)
3. и
пересекаются в одной точке
(30.16)
Условие перпендикулярности прямых и
:
=
(30.14)
( – нормаль к прямой
, а
– нормаль к прямой
(см. чертёж 30.3))
§31. Уравнение прямой на плоскости по двум точкам и «в отрезках»
31.1 Уравнение прямой проходящей через точку и коллинеарной заданному вектору
Её уравнение имеет вид ,
или (см. уравнение (29.4))
31.2 Уравнение прямой проходящей через заданную точку и ортогональной заданному вектору
(см. уравнение (29.8)).
31.3 Уравнение прямой проходящей через две заданные точки и
Это уравнение имеет вид:
(31.1)
В случае в (31.1) у можно выразить через x:
(31.2)
А для и
уравнение (31.1) можно записать следующим образом:
31.4 Уравнение прямой «в отрезках»
![]() | |||
| |||
(29.9)
Определение 31.1: Поэтому уравнение (29.9) называется уравнением прямой «в отрезках».