Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy

1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy . Заметим, что так как заданная система пространственная, при произвольном характере нагружения, в опорном сечении, где установлена заделка, возникает шесть опорных реакций (три опор­ные силы и три момента). Для определения опорных реакций, в данном случае, можем применить шесть уравнений равновесия ста­тики. Так как число независимых уравнений равновесия равно чис­лу опорных реакций, то можно сделать вывод, что рассматриваемая система в виде ломаного бруса, с заделанным одним концом, явля­ется статически определимой. Поэтому рассматриваемая система разрешима по методу сечений. Далее, учитывая особенности конст­рукции, определение величин внутренних усилий можно осущест­вить без предварительного вычисления величин опорных реакций.

Брус имеет три участка АВ, ВС и СD (рис. 5.34, г). При этом, после рассечения бруса на две части будем рассматривать равно­весие оставшейся части, не связанной с заделкой (чтобы избежать предварительного определения опорных реакций в заделке бруса). Внутренние силовые факторы можно рассматривать как реакции, действующие в сечении на оставшуюся часть со стороны отбро­шенной части, поэтому процесс определения шести величин Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy может быть сведен к известному процессу оп­ределения опорных реакций.

Следует отметить, что при определении опорных реакций их направление можно указать произвольно, а затем из решения урав­нения равновесия будет ясно, как в действительности действует ре­акция: если результат положительный, то реакция действует имен­но так, как мы предварительно указали, если отрицательный - то наоборот.

При построении эпюр будем руководствоваться следующими правилами:

- нормальная сила Nz считается положительной, если она вызы­вает растяжение бруса;

- крутящий момент Mz считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он виден враща­ющим брус по ходу часовой стрелки;

- поперечная сила Qx считается положительной, если при взгляде со стороны положительного направления оси y она стре­мится вращать оставшуюся часть бруса по ходу часовой стрелки от­носительно ближайшей точки на оси бруса (для поперечной силы Qy - то же, по отношению к x);

- ординаты эпюр Qx и Qy следует откладывать перпендикуляр­но оси бруса в плоскости действия этих сил и указывать знак;

- ординаты эпюр Мx и Мy будем откладывать перпендикулярно оси бруса со стороны растянутого волокна.

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru

Участок АВ (0 £ z1 £ a).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, д. В центре сечения помещаем систему координат. Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г. Коор­дината z1 увеличивается от точки А к точке В. Для определения N покажем ее в направлении от сечения, т.е. растягивающей, и соста­вим уравнения равновесия: Sz = 0; Nz = 0. Из åМx = 0 следует Мx = 0 (рис. 5.35, а).

Для определения Мz покажем его так, чтобы при взгляде на сечение он был виден вращающим брус по часовой стрелке, и составим уравнения равновесия (рис. 5.35,б):

Smz = 0; Мz = 0.

Для определения Qx и Qy покажем их положительными в соот­ветствии с выбранным правилом знаков и составим уравнения рав­новесия:

Sx = 0, Qx - P = 0, Qx = P = 1 кН;

Sy = 0, Qy = 0.

Эпюра Qx представляет собой прямоугольник (рис. 5.35, в) с ординатой, равной 1, лежащей в плоскости действия этого силово­го фактора. Составляем уравнение равновесия:

SMy = 0, Мy + Р×z = 0, Мy = -P×z.

Ординаты эпюры My линейно зависят от z:

z = 0, My = 0; z = a, My = -P×a = -1×0,3 = -0,3 кН×м.

Знак минус указывает на то, что в действительности изгибаю­щий момент My вызывает растягивающее напряжение в правой части поперечного сечения, поэтому ординаты эпюры My отклады­ваются в правую сторону.

Участок ВC (0 £ z2 £ b).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, e. В центре сечения помещаем систему координат. Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г. Коор­дината z2 увеличивается от точки В к точке С. Процесс опреде­ления внутренних силовых факторов на этом участке такой же, как и на предыдущем. Важно отметить, что на оставшейся части соот­ветствующий внутренний силовой фактор удобно показывать непо­средственно перед его определением - для того, чтобы не затем­нить чертеж. При этом Nz, Mz , Qx , Qy показывают в положи­тельном направлении в соответствии с принятым правилом знаков, а изгибающие моменты Mx и My - наугад из двух возможных направлений (рис. 5.34, e):

Sz = 0, Nz = 0; SMz = 0, Mz + P×a = 0, Mz = -P×a = -0,3 кН×м.

Плоскость прямоугольной эпюры произвольна (рис. 5.35, б).

Sx = 0, Qx - P = 0, Qx = P = 1 кН.

Эпюра Qx в виде прямоугольника показана на рис. 5.35, в.

Sy = 0, Qy - q z = 0; Qy = q z ;

z = 0, Qy = 0; z = 0,6 м, Qy = 2×0,6 = 1,2 кН.

Эпюра Qy в виде треугольника показана на рис. 5.35 е.

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru

Ординаты Mx изменяются по закону квадратной параболы.

z = 0, Mx = 0; z = 0,6 м, Mx = -0,36 кН×м;

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru = 2 z = 0; z = 0- точка экстремума в эпюре Mx в сечении z = 0.

Знак минус указывает, что растягивающие напряжения возни­кают не в ближней части сечения, а в дальней. При этом наблюда­тель ориентирован относительно глобальной системы координат xy, показанной на рис. 5.34, а следующим образом: ось x направле­на к наблюдателю, поэтому ординаты Mx

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru

Рис. 5.35

откладываем в дальнюю сторону (рис. 5.35, а).

SMy = 0, My + P z = 0, My = -P z;

z = 0, My = 0; z = 0,6 м, My = -0,6 кН×м.

Эпюра My - треугольная. Растягивающие напряжения возника­ют в правой части сечения - ординаты откладываем вправо.

Участок CD (0 £ z3 £ c1).

Оставшаяся часть изображена на рис. 5.34, ж. В центре сечения помещаем систему координат. Оси x и y совпадают с направлением главных осей инерции сечения, показанных на рис. 5.34, г. Коор­динаты z3 увеличиваются от точки С к точке D. Повторяя все рас­суждения, проведенные на предыдущих участках, будем иметь следующее (рис. 5.34, д):

Sz = 0, N - P = 0, N = P = 1 кН;

SMz = 0, Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru кН×м.

Эпюра Mz - в виде прямоугольника. Плоскость изображения произвольная:

Sx = 0, Qx + q b1 = 0, Qx = -q b1 = -2×0,6=-1,2 кН.

Эпюра Qx - в виде прямоугольника в плоскости действия Qx.

Sy = 0, Qy = 0;SMx = 0, Mx + P b1 = 0, Mx = -P b1 = -0,6 кН×м.

Эпюра Mx - в виде прямоугольника. Растягивающие напряже­ния при изгибе возникают в нижней части поперечного сечения -ординаты эпюры откладываем вниз.

SMy = 0, My + P a - q b1 z3 = 0, My = q b1 z3 -P a = 1,2 z3 - 0,3.

Величина My определяется как линейная функция от z3. При z3 = 0; My = -0,3 кН×м. В этом сечении растягивающие напряжения возникают не в дальней части сечений, а в ближней - ординату откладываем к наблюдателю.

При z3 = 0,5м My = 1,2×0,5 - 0,3 = 0,6-0,3 = 0,3 кН×м.

В этом сечении My откладываем от наблюдателя (рис. 5.35, г).

2. Установить вид сопротивления для каждого участка бруса. По эпюрам устанавливаем вид сопротивления на каждом участке бруса. На участке АВ возникают изгибающий момент My и поперечная сила Qx , что свидетельствует о наличии поперечного изгиба. На участке ВС возникают изгибающие момен­ты Mx, My , поперечные силы Qx , Qy и крутящий момент Mx , что свидетельствует о наличии косого изгиба и кручения. На участке СD действуют изгибающие моменты Mx и My , поперечная сила Qx , растягивающая сила N и крутящий момент Mz , что свиде­тельствует о наличии косого изгиба с растяжением и кручением.

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий N, Mx, My и Mz (касательными напряжениями от Qx и Qy можно пренебречь). Участок АВ. Наибольшая величина изгибающего момента My , судя по эпюре (рис. 5.35, г) возникает в сечении, бесконечно близком к точке В. Максимальные нормаль­ные напряжения при изгибе определяются по формуле:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru 16,7×103 кН/м2,

где момент сопротивления Wy = Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru =1,8×10-5 м3.

Участок ВС. По эпюрам Mx и My устанавливаем, что опасным является сечение, бесконечно близкое к точке С. Для круглого сечения суммарный изгибающий момент:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru кН×м,

а наибольшие нормальные напряжения равны:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru кН/м2=33,32 МПа,

где момент сопротивления круглого сечения при изгибе:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru м3 .

При кручении круглого сечения возникают касательные на­пряжения, максимальные значения которых определяются по фор­муле:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru ,

где Wp - момент сопротивления при кручении. Известно, что

Wp = 2 WИ = 2×2,1×105 м3 = 4,2×105 м3,

тогда

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru кПа=7,143 МПа.

Участок СD. По эпюрам Mx и My видим, что равными по опасности будут сечения, бесконечно близкие к точкам С и D. При действии растягивающей силы N во всех точках поперечного сече­ния возникают одинаковые нормальные напряжения:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru кН/м2 = 0,555 МПа,

где F = b×c = 0,06×0,03=0,0018 м2 - площадь поперечного сечения;

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru 66666 кН/м2 = 66,67 МПа,

где

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru м3.

При действии изгибающего момента My наибольшие нормаль­ные напряжения будут равны:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru кН/м2 = 16,67 МПа.

При кручении бруса прямоугольного сечения возникают каса­тельные напряжения, максимальные значения которых определятся по формуле:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru кН/м2 = 27,07 МПа,

где WK = b×c3 = 0,493×0,033 = 13,3×10-6 м3 - геометрическая величи­на, играющая роль момента сопротивления при кручении стержней прямоугольного сечения. Здесь b - коэффициент, зависящий от от­ношения большей стороны прямоугольника к меньшей (в данном случае при b/c = 2, b = 0,493).

4. Проверка прочности при расчетным сопротивле­нии R = 180 МПа. Расчетное напряжение по третьей теории прочности для плоского напряженного состояния определяется по формуле:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru .

Участок АВ. Линейное напряженное состояние является част­ным случаем плоского (t = 0), поэтому в нашем случае:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru , где R = 180 МПа.

Участок ВС. Проверка прочности по третьей теории:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru 36,25 МПа < 180 МПа.

Участок СD. Сначала найдем максимальное нормальное напря­жение от внутренних силовых факторов N, Mx и My :

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru МПа.

Касательные напряжения в угловой точке от кручения равны 0. Имеет место линейное напряженное состояние:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru МПа < 180 МПа.

Далее рассмотрим напряженное состояние в окрестности точки, где действует максимальное касательное напряжение t = 27,7 МПа. Имеет место плоское напряженное состояние:

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru МПа;

Решение. 1. Построить в аксонометрии эпюры Mx , My , Mz , Nz, Qx , Qy - student2.ru МПа < 180 МПа.

Следовательно, так как условие обеспечения прочности во всех опасных точках участков ломанного бруса выполняются, то проч­ность конструкции в целом следует считать обеспеченной.

Наши рекомендации