Б. Кинематика поступательного и вращательного движения

Контрольная работа №1

Вологда

Требования к оформлению и общие методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий.

1. Студентам, изучающим курс физики, необходимо решить в течение семестра 10 задач по первой части пособия.

2. Номер варианта совпадает с порядковым номером фамилии студента в журнале.

3. Номера задач приведены в таблице вариантов.

4. Задания должны выполняться последовательно по пройденным темам. Сроки представления решенных задач объявляются преподавателем.

5. Задачи оформляются в письменном виде на отдельных листах. Решение каждой задачи необходимо начинать с новой страницы.

6. Требуется указать номер варианта и номер задачи по нумерации пособия.

7. Условие задачи переписывается полностью, без сокращений.

8. Решение записывается в стандартном виде:

Дано:	Решение:
Найти:
Ответ:

9. Все физические величины необходимо выразить в системе единиц СИ.

10.Сделать рисунок, схему, если это необходимо.

11.Сформулировать основные законы, записать формулы, на которых базируется решение. Обосновать возможность их применения в условиях данной задачи. Составить полную систему уравнений для решения задачи.

12.Получить окончательное выражение искомой величины в общем виде. Проверить размерность.

13.Подставить числовые данные и рассчитать искомую величину.

14.Проанализировать полученный результат.

15.Записать ответ.

16.Каждую задачу требуется защитить, то есть полностью объяснить решение задачи преподавателю.

Составители: к.т.н., доцент Платонов А.Д.

к.ф. – м.н., доцент Кузина Л.А.

Контрольная работа №1

Раздел I. Механика

Кинематика

1а. Кинематика поступательного движения

– средняя скорость;

v_ср.= – средняя скорость вдоль траектории;

– мгновенная скорость;

v= – величина мгновенной скорости;

v_х= – проекция скорости на ось OX;

– среднее ускорение;

– мгновенное ускорение;

a_х= – проекция ускорения на ось OX;

– закон сложения скоростей.

Равнопеременное движение ( =const):

– радиус-вектор материальной точки;

; ; – длина пути;

– скорость при равнопеременном движении.

Примеры решения задач

Задача 1.

Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?

Решение

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, может быть найдена из общей формулы пути при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось

;

с учетом, что в наивысшей точке траектории отсутствует вертикальная составляющая скорости v_y=0, а :

. (1)

Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v_0y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось:

(2)

и теоремы Пифагора для полной скорости в начальный момент времени и спустя время t после начала движения:

, (3)

. (4)

Здесь учтено, что проекция скорости на горизонтальную ось не изменяется, так как . Вычтем почленно (4) из (3), и с учетом (2) получим:

. (5)

Из (5) находим v_0y: .

Далее из (1) находим высоту подъема: .

Ответ: h=2.99 м.

Задача 2.

Уравнение движения тела имеет вид x=5t+0.8t³. Определить ускорение и скорость тела в начальный момент времени, а также среднее ускорение за первые 5 секунд движения.

Решение

Поскольку , то

. (1)

Далее, из получим

. (2)

Подставив в (1) и (2) t=0, найдем v₀=5 м/с, а₀=0 м/с².

Среднее ускорение находим по определению , то есть , где скорость в момент времени t=5c находим из (1): v_t=v₅=5+2.4^.5²=65 м/с. Окончательно

Ответ: а₀=0 м/с²; v₀=5 м/с; а_ср.=12 м/с².

1. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3 с. Какова была начальная скорость тела? На какую высоту поднялось тело?

2. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через 2 секунды мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

3. Тело падает вертикально с высоты 19.6 м без начальной скорости. Какой путь пройдет тело за первую 0.1 с своего движения? За последнюю 0.1 с своего движения?

4. Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 80 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.

5. Мотоциклист, имея начальную скорость 10 м/с, стал двигаться с ускорением 1 м/с². За какое время он пройдет путь 192 м и какую скорость приобретет в конце пути?

6. Поезд, движущийся со скоростью 72 км/ч, проходит от начала торможения до остановки расстояние 1 км. Чему равно ускорение? Найти скорость поезда у светофора, находящегося в середине тормозного пути.

7. Зависимость координаты тела от времени дается уравнением x=9t–6t²+t³ (координата – в метрах, время – в секундах). Найти зависимость скорости и ускорения от времени; путь, перемещение, скорость и ускорение тела через 2 секунды после начала движения. Движение прямолинейное.

8. Зависимость координаты тела от времени дается уравнением x=16–9t²+2t³. Найти среднее значение модуля скорости и величину среднего ускорения тела в интервале времени от 1 секунды до 4 секунд.

9. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения тела имеет вид: x=2+3t+0.01t³ (координата – в метрах, время – в секундах). Каковы скорость и ускорение в моменты времени 0 с и 10 с от начала движения?

10. Тело падает вертикально с высоты 19.6 м без начальной скорости. За какое время тело пройдет первый метр своего пути? Последний метр своего пути?

11. Камень бросили вверх на высоту 10 м. Через сколько времени он упадет на землю? На какую высоту поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?

12. Тело падает без начальной скорости с высоты 490 м. Определить перемещение тела в последнюю секунду падения.

13. Камень, брошенный горизонтально с высоты 2 м над землей, упал на расстоянии 7 м от точки бросания (по горизонтали). Найти его первоначальную и конечную скорости.

14. Камень брошен горизонтально с высоты 30 м с начальной скоростью 30 м/с. На каком расстоянии по горизонтальному направлению и под каким углом к горизонту он упал?

15. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м со скоростью 15 м/с. Через сколько времени тело упадет на землю? На каком расстоянии от места бросания по горизонтали упадет тело и какова будет его скорость в момент падения?

16. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении, упало на расстоянии 40 м от основания башни под углом 45⁰ к горизонту. Найти высоту башни и начальную скорость тела.

17. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с, упало на землю на расстоянии, вдвое большем, чем высота башни. Найти высоту башни.

18. Снаряд вылетел из дальнобойной пушки с начальной скоростью 1000 м/с под углом 30⁰ к горизонту. Сколько времени снаряд будет находиться в воздухе? На каком расстоянии от пушки он упадет на землю?

19. Из одинаковых пожарных труб бьют струи воды: одна под углом 45⁰ к горизонту, другая – 60⁰. Во сколько раз наибольшая высота, достигаемая первой струей, меньше, чем вторая?

20. Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40⁰ к горизонту. Найти: на какую высоту поднимется мяч; на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю; сколько времени он будет в движении; под каким углом к горизонту летел мяч на половине максимальной высоты.

21. Тело брошено под углом к горизонту. Продолжительность полета 2.2 с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

22. Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со скоростью 10 км/ч, а обратно – 16 км/ч. Найти среднюю скорость парохода и скорость течения реки.

23. Движение двух материальных точек выражается уравнениями:

x₁=20+2t–4t³ и x₂=2+2t+0.5t³ (координаты в метрах, время в секундах). В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

24. Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью 10 км/ч, вторую треть со скоростью 20 км/ч и последнюю треть – со скоростью 60 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.

25. Тело начинает падать со скоростью 16 м/с, находясь на высоте 200 м. Определить, через сколько времени тело достигнет земли, если начальная скорость направлена: а) вверх; б) вниз. Доказать, что скорость приземления в обоих случаях одинакова.

26. Тело свободно падает и последние 196 м пути проходит за 4 секунды. Сколько времени падало тело? Чему равна высота?

27. Тело брошено под углом 30⁰ к горизонту. С какой скоростью было брошено тело и какова горизонтальная дальность его полета, если оно находилось в полете 2 с? Какова максимальная высота подъема тела?

28. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего падения проходит половину всего пути. Найти, с какой высоты падает тело; продолжительность его падения.

29. Фонарь, находящийся на расстоянии 3 м от вертикальной стены, бросает на нее световой «зайчик». Фонарь равномерно вращается вокруг вертикальной оси с частотой 0.5 Гц. При вращении фонаря «зайчик» бежит по стене по горизонтальной прямой. Найдите скорость «зайчика» через 0.1 с после того, как луч света был перпендикулярен стене.

30. Скорость тела выражается формулой v=9–t². Найти путь и перемещение тела через 10 секунд от начала движения.

б. Кинематика поступательного и вращательного движения

– величина тангенциального (касательного) ускорения;

– величина нормального (центростремительного) ускорения;

– полное ускорение;

– модуль полного ускорения;

– угловая скорость;

– угловое ускорение;

; ; – связь линейных и угловых величин (путь, скорость и ускорение);

– угловой путь;

– связь угловой скорости с частотой и периодом вращения.

Равнопеременное вращательное движение (ε=const):

– угловая координата;

; – угловой путь;

– угловая скорость.

Примеры решения задач

Задача 3.

Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки окружности диска для момента времени 10 с от начала движения, если радиус окружности 0.2 м, а угол между осью ОХ и радиус-вектором точки изменяется по закону: j=3–t+0.2t³.

Решение

По формулам и находим угловую скорость и угловое ускорение точки: ω= –1+0.2^.3t² , ε=0.6^.2t. Из формулы связи углового и линейного тангенциального ускорения найдем: a_τ=R^. ε=R^.(0.6^.2t)=1.2Rt=1.2^.0.2^.10=24 м/с².

Нормальное ускорение найдем из формулы , где скорость v=R^.ω=R^.(–1+0.2^.3t²)=R^.(0.6t²–1). Подставим численные значения: v=0.2^.(0.6^.10²–1)=11.8 м/с;

Теперь находим полное ускорение: .

Ответ: a_τ=24 м/с²; а_n=696 м/с²; а=697 м/с².

31. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. Длина пути автомобиля выражается уравнением S=10+10t+0.5t² (путь – в метрах, время – в секундах). Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 5 с после начала движения.

32. Материальная точка движется по окружности радиуса 80 см по закону S=10t–0.1t³ (путь в метрах, время в секундах). Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 2 с после начала движения.

33. По дуге окружности радиуса 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 5 м/с², а вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60⁰. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.

34. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением S=A+Bt+Ct²+Dt³, где С=0.14 м/с², D=0.01 м/с³. Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1 м/с²? Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?

35. Тело брошено со скоростью 14.7 м/с под углом 30⁰ к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорение тела через 1.25 с после начала движения.

36. Тело брошено горизонтально со скоростью 15 м/с. Найти нормальное и касательное ускорение через 1 с после начала движения.

37. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 45⁰ к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела через 1 с после начала движения.

38. Тело брошено со скоростью v₀ под углом a к горизонту. Найти величины v₀ и a, если наибольшая высота подъема тела 3 м и радиус кривизны траектории тела в верхней точке траектории 3 м.

39. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

40. Маховое колесо спустя 1 минуту после начала вращения приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Вращение считать равноускоренным.

41. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до его остановки?

42. Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала 79.2 см/с.

43. Точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 20 с после начала движения, если к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна 10 см/с.

44. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3.14 рад/с². Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения угловую скорость; линейную скорость; тангенциальное ускорение; нормальное ускорение; полное ускорение.

45. Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением S=0.1t³ (путь – в метрах, время – в секундах). Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна 0.3 м/с.

46. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с². Через 0.5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно 13.6 см/с². Найти радиус колеса.

47. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j=A+Bt+Ct²+Dt³, где B=1 рад/с, С=1 рад/с², D=1 рад/с³. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно 3.46 м/с².

48. Маховое колесо, вращающееся с частотой 240 об/мин, останавливается в течение 30 с. Найти число оборотов, сделанных колесом до полной остановки.

49. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить, к концу которой привязан грузик. Двигаясь равноускоренно, грузик за 3 с опустился на 1.5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус равен 4 см.

50. Тело вращалось равноускоренно с начальной частотой 40 об/мин. После того, как совершилось 20 оборотов телом, частота увеличилась до 120 об/мин. Найти угловое ускорение и время, в течение которого изменялась частота.

51. Шкив радиусом 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением 20 см/с². Определить угловую скорость шкива в тот момент, когда груз пройдет путь 1 м.

52. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою частоту за 1 минуту от 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время. Через какое время колесо остановится?

53. Вал вращается со скоростью, соответствующей частоте 180 об/мин. С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением, численно равным 3 рад/с². Через сколько времени вал остановится? Сколько оборотов он сделает до остановки?

54. Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с². Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному?

55. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60⁰ с направлением линейной скорости этой точки.

56. Колесо радиусом 0.1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j=A+Bt²+Ct³, где B=2 рад/с², С=1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения: угловую скорость; линейную скорость; угловое ускорение; тангенциальное ускорение; нормальное ускорение; полное ускорение.

57. Колесо радиусом 5 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j=A+Bt+Ct²+Dt³, где D=1 рад/с³. Найти для точек, лежащих на ободе колеса, изменение тангенциального ускорения за каждую секунду движения.

58. Колесо радиусом 30 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения дается уравнением: v=3t+t² (скорость – в м/с, время – в секундах). Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент времени 5 с после начала движения.

59. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит равноускоренно путь 600 м за время 30 с. Радиус закругления 1 км. Найти скорость и полное ускорение поезда в конце этого участка пути.

60. Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорение камня и радиус кривизны траектории через 3 с после начала движения.

Динамика.