Кут між мимобіжними прямими

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між пря­мими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіж­ним прямим.

Кут між мимобіжними прямими, як і між прямими однієї площини, не може бути більше 90°. Дві мимобіжні прямі, які утворюють кут в 90° , називаютьсяперпендикулярними.

Розв'язування вправ

1. Покажіть перпендикулярні мимобіжні прямі в оточенні.

2. Дано зображення куба (рис. 275). Знайдіть кут між мимобіжними прямими а і b.

Рис. 275

(Відповідь, а) 90°; б) 45° ; в) 60°; г) 90°; д) 90°; е) 90°.)

3. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Доведіть, що АВ₁ CD₁.

4. Пряма SA перпендикулярна до сторін АВ і АС трикутника АВС. Знайти кут між прямими SA і ВС. (Відповідь. 90°.)

5. Точки К і М середини ребер АВ і DC трикутної піраміди DABC, кожне ребро якої дорівнює а. Доведіть, що KM АВ. Знайдіть довжину відрізка KM.

(Відповідь. .)

6. Знайдіть кут між мимобіжними діагоналлю грані куба і діагоналлю куба.

Розв'язання

Знайдемо кут між діагоналлю ВD₁ куба і діагоналлю DC₁ грані куба (рис. 276). Добудуємо до даного куба куб ADMNA₁D₁M₁N₁ (рис. 277), тоді кут між прямими BD₁ і DC₁ дорівнює куту між прямими BD₁ і D₁M . Нехай АВ = а; тоді D₁M = а, AD₁ = a , ВМ = а .

Із ΔBD₁M маємо:

ВМ² = DB² + D₁M² – 2AD₁ · D₁M cosBD₁M , або

5а² = 2а² + 3а² – 2 а · a cos BD₁M ;

5а² = 5а² – 2 а² cos <BD₁M;

2 а² cos <BD₁M = 0 ;

cos <BD₁M = 0 ;

<BD₁M = arccos 0 = 90°.

Відповідь. 90° .

7. Довести, що кут між мимобіжними прямими не залежить від вибо­ру прямих, що перетинаються

Кут між прямою і площиною

Кут між прямою і площиною. Що розуміють під кутом між прямою і площиною?
Якщо пряма паралельна площині, то вважають, що кут між такою прямою і площиною дорівнює 0°. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними дорівнює 90 . У решти випадків кутом між прямою і площиною називають кут між прямою і її ортогональною проекцією на площину.
Приклад. Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб (мал. 235). Знайдіть кут між прямою АС₁ і площиною його грані АВСD. Проекція відрізка АС₁ на площину грані АВСD - відрізок АС. Тому шуканий кут . Його тангенс , звідси .
До кута між прямою і площиною близьке поняття кута між похилою і площиною.

Кутом між похилою і площиною називають кут між похилою і її проекцією на площину.
Йдеться про прямокутну (ортогональну) проекцію. Якщо – кут між прямою і площиною, то 0° < < 90°; якщо – кут між похилою і площиною, то 0° < < 90°.
Можна довести, що кут між похилою і площиною найменший з усіх кутів, які похила утворює з прямими, проведеними на площині через основу похилої.
Кути між прямими і площинами часто доводиться вимірювати астрономам, геодезистам, географам, маркшейдерам, працівникам транспорту. Найпростіший саморобний прилад для вимірювання кутів між горизонтальною площиною і похилими – екліметр (мал. 236). Бувають екліметри і фабричного виготовлення (мал. 237). У його циліндричному корпусі при натиснутій кнопці вільно обертається і встановлюється за виском градуйований диск.

Якщо кнопку відпустити, диск закріплюється, і на його шкалі можна прочитати градусну міру кута, який вимірюють. Якщо потрібна більша точність, кути вимірюють теодолітами (мал.238).
Теодоліт має два круги з градусними поділками (лімби). Користуючись горизонтальним лімбом, визначають кути в горизонтальній площині, вертикальний лімб дає змогу вимірювати кут між горизонтальною площиною і похилими до неї напрямами.

Кут між площинами. Якщо дві площини паралельні, то вважається, що кут між ними дорівнює 0°. Якщо площини α і β перетинаються по прямій с, то, щоб визначити кут між цими площинами, у кожній з них через довільну точку М прямої с можна провести прямі а і b, перпендикулярні до прямої с . Кут між прямими а і b, приймають за кут між даними площинами α і β. Можна довести, що міра цього кута не залежить від вибору точки О на прямій с. Кут між двома площинами, як і між двома прямими, знаходиться в межах від 0° до 90°.

Якщо кут між двома площинами дорівнює 90°, то площини перпендикулярні.
Якщо дві площини перетинаються, то вони весь простір поділяють на 4 частини, які називають двогранними кутами.

Двогранним кутом називається частина простору, обмежена двома півплощинами, які виходять з однієї прямої.

Півплощини, які обмежують двогранний кут, називають його гранями, а їх спільну пряму – ребром двогранного кута (мал. 239).

Кут, утворений перетином двогранного кута з площиною, перпендикулярною до його ребра, називають лінійним кутом даного двогранного кута. Будь-які два лінійні кути двогранного кута рівні (мал. 240).
Тому двогранні кути можна характеризувати відповідними лінійними кутами.
Якщо, наприклад, лінійний кут деякого двогранного кута дорівнює 60°, то кажуть, що це – двогранний кут 60°. Двогранний кут називають гострим, прямим, тупим, розгорнутим чи більшим від розгорнутого залежно від того, чи є його лінійний кут гострим, прямим, тупим, розгорнутим чи більшим від розгорнутого (мал. 241).

Не слід ототожнювати міру двогранного кута з кутом між площинами. Кут між площинами може змінюватися в межах від 0° до 90°, а міра двогранного кута - від 0° до 360°.
Замість «двогранний кут, міра якого дорівнює α» нерідко кажуть коротше: «двогранний кут α». У таких випадках під двогранним кутом розуміють і певну фігуру, і відповідне її числове значення.

Найпростішими матеріальними моделями двогранного кута є краї різальних інструментів: зубил, стамесок, різців для токарних верстатів тощо. Вони бувають більш або менш гострими. Вимірюють такі кути кутомірами (мал. 242).

Закріплення нового матеріалу (10 хв.)(для виконання завдань учні об’єднуються у групи)

Розв’язати задачу.

Усно

ІІ варіант. І варіант

Знайти кут між прямими

а) АВ і АД₁ а) АВ1 і АД1

б) АВ₁ і АД б) ДС1 і А1Д1

в) АВ₁ і АВ в)CД1 і СВ1

Відповідь: а)90˚ б)60˚ в)45˚ а)60˚ б)90˚ в)45˚

2) Дано зображення куба знайдіть кут між мимобічними прямими.

а)90 в)60 б)45 г)90

3) Дано зображення куба. Знайти кут між площиною АВС і прямою.

Відповідь: г)45 б)0 ; а)90 д) аrtg 1⁄√2

Знайдіть кут між площинами АВС і АВD

Відповідь :

а) 90º в) arctg√2 б) 45º г)arctg√2

2 2

Письмове розв’язування задач

Користуючись зображенням, знайдіть: SA і SB – похилі

SO =a, ےАОВ=90°

І ІІ

1. Проекцію похилої SA на площину АОВ;

2. довжину похилої SA;

3. проекцію похилої SB на площину АОВ;

4. довжину похилої SB;

5. відстань між основами похилих;

6. відстань між прямими SO і АВ.

І в. 1) а ; 2) 2а ; 3) а ; 4) а√2 ; 5) 2а√3 ; 6) а

√3 √3 3 2

ІІ в. 1) а ; 2) а√2 ; 3) а√3 ; 4) 2а ; 5) 2а ; 6) а√3

2 .

Самостійне розв’язування задач із подальшим записом на дошці.

1.Точка А віддалена від площини на 2 м. Знайдіть довжину похилої АВ, нахиленої до під кутом 30˚.

2. знайдіть довжину проекції похилої та відстань від точки А до площиин α , якщо похила дорівнює 10 см. і утворює із площиною кут 30º

3. Знайди довжину похилої та її проекції , якщо точка А віддалена від площиини α на 6 см. , а похила утворює з площиною кут -30º .

Домашнє завдання

Бевз Г.П. Математика: 10 кл. § 33, № 1190, 1195.

Література

1.Державний стандарт базової і повної середньої освіти //Постанова КМУ № 1392 від 23 листопада 2011 р.

2.Робоча навчальна програма з математики для підготовки кваліфікованих робітників будівельного профілю. Рівень стандарт, - Калуш, 2015.

3. Бевз Г.П. Математика: 10 кл. : підруч. для загальноосвт. навч. закл.: рівень стандарту. – К.: Генеза, 2011, - 272 с.

4. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Математика. 10 клас. Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан. 2010. – 480 с.

Висновки
В процесі уроку всі завдання вчителя виконані на високому рівні. В процесі уроку виконані освітні, виховні і розвиваючі завдання.