Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD

Лабораторная работа № 6

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ДЛЯ ТАБЛИЦ С ПОСТОЯННЫМ ШАГОМ. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.

ОБРАТНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

Цель работы: изучить формулы интерполяции для таблиц с постоянным шагом; научиться решать задачи численного дифференцирования и обратного интерполирования; для функции, заданной таблично, найти приближённое значение в точках Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru , Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru , Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru и значение производной в точке Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; найти корень уравнения методом обратной интерполяции.

Постановка задачи

1. Построить матрицу конечных разностей в среде пакета MATHCAD.

2. Написать функции в среде пакета MATHCAD, реализующие первую и вторую формулы Ньютона, первую и вторую формулы Гаусса. Найти значения функции в узловых точках, используя полученные функции.

3. Вычислить значения в заданных точках Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru , Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru , Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru в среде MATHCAD.

4. Построить график интерполяционного полинома.

5. Проверить полученные значения, используя встроенные функции пакета MATHCAD.

Содержание отчета

1. Постановка задачи.

2. Теоретические сведения.

3. Листинги счета на ЭВМ.

4. Выводы.

Теоретические сведения

Конечные разности. Пусть известны значения некоторой функции Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru для равноотстоящих значений аргумента Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru . Конечными разностями первого порядка называются следующие величины:

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; …; Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; … .

Аналогично определяются конечные разности второго порядка:

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; …; Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; …

и т.д.

Конечные разности Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru -го порядка выражаем через конечные разности Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru -го порядка: Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; …; Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; … .

Вычисление конечных разностей можно оформить в виде
табл. 6.1, которая называется диагональной таблицей конечных разностей.

Таблица 6.1

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru  
Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru          
Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru  
Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru  
Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru  
Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru  
Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru  
Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru    
Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru    
Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru      
   

Первая интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционный полином Ньютона – форма записи интерполяционного полинома Pn(x), которая допускает уточнения результатов интерполирования последовательным прибавлением новых узлов.

Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ,

где Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru .

Формула используется для интерполирования в точках Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru , близких к началу таблицы Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru , поэтому её называют также и интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования в начале таблицы. Отметим, что конечные разности, входящие в первую интерполяционную формулу Ньютона, расположены в верхней косой строке таблицы конечных разностей.

Погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона записывается в виде

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ,

где Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполяции.

Вторая интерполяционная формула Ньютона. Пусть точка интерполирования Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru лежит вблизи конечной точки таблицы Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru . В этом случае для интерполирования применяется вторая интерполяционная формула Ньютона

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ,

где Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru .

Вторая интерполяционная формула Ньютона содержит конечные разности, расположенные в нижней косой строке таблицы конечных разностей.

Погрешность второй формулы

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ,

где Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполяции Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru .

Интерполяционная формула Гаусса. Пусть точка интерполирования Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru лежит в середине таблицы между узлами интерполяции Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru и Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru , т.е. Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru . В этом случае для интерполирования применяется интерполяционная формула Гаусса

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ,

где Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ; Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru – целая часть числа Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru .

Погрешность интерполяционной формулы Гаусса имеет вид

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru ,

где Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполирования.

Для нахождения корня уравнения Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru методом обратной интерполяции нужно рассмотреть функцию Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru и составить таблицу ее значений, близких к нулю. При этом количество узлов выбирается в зависимости от требуемой точности корня. Выбираем интервал, на котором функция меняет знак, и решаем задачу обратного интерполирования, т.е. отыскиваем значение x, для котoрого y = 0.

Пример выполнения заданий

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD.

Пример функции для построения матрицы конечных разностей:

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru

Первая формула Ньютона может иметь вид

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru

Формулу Гаусса можно реализовать следующим образом:

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru

где x, y – табличные значения; X – точка интерполяции; n – количество узловых точек.

Варианты заданий

Номер варианта Функция Точки интерполяции   Номер варианта Функция Точки интерполяции
А А
Б Г
В Б
А Д
Г Г
В А
Б Д
Д Б
А В
Г Г
В Б
Д А
Б В
В Г
Д Д

Точки интерполяции

№ п/п Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru № п/п Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru
0,01 0,52 0,89 0,02   0,04 0,54 0,89 0,86
0,04 0,46 0,87 0,88   0,03 0,43 0,86 0,02
0,05 0,41 0,86 0,03   0,02 0,43 0,87 0,86
0,02 0,32 0,89 0,87   0,03 0,42 0,88 0,02
0,01 0,45 0,88 0,03   0,05 0,43 0,87 0,89

Построение первой формулы Ньютона в пакете MATHCAD - student2.ru

Наши рекомендации