Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Запись комплексного числа z = a + bi в виде z=r  cos  +isin  называется тригонометрической формой комплексного числа. Модуль комплексного числа: r=  a2+b2 Аргумент комплексного числа:cos =ra  sin =rb |
Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=r1 
cos 
1+isin 1 
и z2=r2 cos 2+isin 2 будет комплексное число вида z1 
z2=r1 r2 cos( 1+ 2)+isin( 1+ 2)
Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=r1 cos 1+isin 1 и z2=r2 cos 2+isin 2 будет комплексное число вида z2z1=r2r1 cos( 1− 2)+isin( 1− 2)
Свойство возведение в степень: Степень комплексного числа z=r cos +isin будет комплексное число вида r cos +isin n=rn cosn +isinn
Свойство извлечения корня: Корень из комплексного числа z=r cos +isin будет комплексное число вида 
nr cos +isin = 
nr 
cosn 
+2 
k+isinn +2 k 
k=0;1;2; 
;n−1
Формула Муавра : cos +isin n=cosn +isinn
Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.
Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами.
Понятие комплексного числа.
Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.
Немного теории.
Комплексным числом z называется число вида
z = a + bi
где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.
a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.
Мнимая единица равна корню из минус единицы:
Теперь рассмотрим уравнение:
Векторы. Операции над векторами.
Координаты векторов. Действия над векторами, заданными своими координатами.
. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:
(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).
В самом деле, для двух векторов (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) имеем
(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) =
= (x1e1 + y1e2 + z1e3) + (x2e1 + y2e2 + z2e3) =
= (x1 + x2) e1 + ( y1 + y2) e2 + (z1 + z2) e3 =
= (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).
Для суммы трех или большего числа векторов доказательство проводится аналогично.
2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:
(x1; y1; z1) — (x2; y2; z2) = (x1 — x2; y1 — y2; z1 — z2)
Доказательство проведите самостоятельно.
3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
В самом деле, для вектора (x1; y1; z1) и числа λ, имеем
λ(x1; y1; z1) = λ(x1e1 + y1e2 + z1e3) =
= (λx1)e1+ (λy1)e2 + (λz1)e3 = (λx1; λy1; λz1)
Деление отрезка в данном отношении.
Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки 
( 
, 
) и 
( 
, 
), и дано отношение 
, в котором точка М делит отрезок 
, то координаты точки М определяются по формулам
, 
.Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам 
, 
.
Длина вектора.
Формула длины вектора для плоских задач
В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
|a| = √ax2 + ay2