Примеры. Построить линии уровня функций, соответствующие значениям

Построить линии уровня функций, соответствующие значениям .

а) .

Полагая , получим уравнения соответствующих линий уровня:

, , , и .

Построив эти линии в декартовой системе координат хОу, получим прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого координатных углов (рис.1)

б) .

Напишем уравнения линий уровня:

, , , и .

Построив их в плоскости хОу, получим концентрические окружности с центром в начале координат (рис.2)

в) .

Линии уровня этой функции , , , и представляют собой параболы, симметричные относительно Оу с общей вершиной в начале координат (рис. 3).

2. Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в данном направлении.

Для характеристики скорости изменения поля в направлении вектора вводят понятие производной поля по направлению.

Рассмотрим функцию в точке и точке .

Проведем через точки и вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусамивектора .

Расстояние между точками и на векторе обозначим

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

Далее предположим, что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины e₁, e₂, e₃ – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

Из этого уравнения следует следующее определение:

1°. Пусть задана точка и вектор , выходящий из точки (рис.). Производной функции по направлению вектора называют предел отношения разности к величине направленного отрезка , когда точка стремится к точке , оставаясь на прямой :

.

Производная от функции по направлению обозначается:

или .

Эта производная вычисляется по формуле (при условии, что функция дифференцируема в точке М):

, (1)

где - нормальный вектор к поверхности уровня функции ,

или - единичный вектор (т.е. его длина равна единице), характеризующий направление вектора .

- направляющие косинусывектора .

Заметим, что

1) величина является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

2) В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет бесконечное множество производных по различным направлениям.