Оценка точности функций измеренных

ВЕЛИЧИН

На этот раздел следует обратить особое внимание и учесть программу определения средней квадратической погрешности функции, вычисляемой по аргументам, которые измеряются с погрешностями.

Функция задана в общем виде:

у = f (х₆, х₂, . . . , х_n ), где х_i - аргументы, средние квадратические погрешности которых известны, т. е. заданы m_i ).

СКП функции находится по формуле:

m²_y= (¶y / ¶ x₁)² m²₁+ (¶y / ¶x₂)² m²₂+ . . . + (¶y / ¶x_n)² m²_n,

где ¶y / ¶ x_i - частные производные функции по каждому аргументу в отдельности.

Порядок вычисления СКП функции общего вида должен быть следующий:

- записывается функция в явном буквенном выражении, например V = pR²·Н (объем цилиндра). В данном случае объем является функцией двух аргументов - радиуса и высоты, p - постоянная;

- выписывается формула СКП для функции в общем виде:

m²_V= (¶V / ¶R )²m²_R + (¶V / ¶H)²m²_H,

учитывая, что производная по постоянному равна нулю

( ¶V / ¶p = 0);

- отдельно берутся частные производные, входящие в формулу СКП:

¶V / ¶R = 2p RH; ¶V / ¶H = pR²;

- выражения частных производных подставляется в формулу СКП:

m²_V= (2p RH)²m²_R+ (pR²)²m²_H;

- в соответствии с условием задачи в полученную формулу подставляются числовые значения постоянных, аргументов и их средних квадратических погрешностей. Находят величину m = Öm².

Решение примеров

Пример 3

Найти СКП превышения, полученного на одной станции геометрического нивелирования по черным сторонам реек, если СКП отсчета по рейке m₀ равна 1 мм.

Решение: превышение вычисляется по формуле h = a - b,

где а и b - отсчеты соответственно по задней и передней рейкам.

В этой формуле превышение h является функцией отсчетов а и b. Так как эта функция такого же типа, как функция u = ± х₁ ± х₂ ± . . . ± х_n + с, с равноточными аргументами, для которой СКП определяется по формуле m_u = mÖn, то для рассматриваемой функции будет:

m_h = m_о Ö2.

В результате получим

m _h= 1 ×Ö2 = 1,4 мм.

Пример 4

Линия теодолитного хода измерена частями со средними квадратическими погрешностями m₁= 0,01 см, m₂= 0,02 см, m₃ = 0,03 см. Определить СКП всей длины линии.

Выписываем функцию в явном виде:

D = D₁+ D₂+ D₃.

Формула СКП примет вид: m²_D= m²₁+ m²₂+ m²₃

Подстановка числовых значений даст окончательный результат:

m²_D= (0.01)² + (0.02)² + (0.03)² = 0,0014,

_____

m_D= Ö0.0014 = 0,037 » 0,04 см.

Пример 5

Определить СКП превышения, полученного на станции геометрического нивелирования по черным и красным сторонам реек, если СКП отсчета по рейке m₀= 1 мм.

Превышение по черным сторонам реек равно h_ч=а_ч- b_ч, превышение по красным сторонам реек равно h_к= а_к- b_k. Окончательно функция примет вид:

h_ср= (h_ч- h_к) / 2 или h_ср= ( а_ч- b_ч) / 2 + (а _к- b _к) / 2

для определения СКП функцию удобно иметь в виде:

h_ср= 1/2 а_ч- 1/2в_ч+ 1/2а_к- 1/2b_к

В учебном пособии [1] такой функции аналогичен вид функции:

Формула СКП примет вид:

m²_{h ср}= 1/4 m²_о+ 1/4 m²_о+ 1/4 m²_о+ 1/4 m²_о,

так как при равноточных измерениях m_{a ч}= m_b ч= m_a k= m_{b k}= m_о, то подставляя значение m_о = 1 мм, получим:

m²h= 1 мм, mh= 1 мм.

Пример 6

Вычислить СКП приращения D х = S×cos a, если S = 489.98 м; m_s = 0.11 м; a = 144°30¢.0; m_a = 1.0¢.

Решение: Так как функция х = S×cos a нелинейная, то для вычисления ее СКП применяем формулу с частными производными:

m²_Dx= ( ¶Dx / ¶S )² m²_s+ ( ¶Dx / ¶a )² m¢_a² / r¢² ,

В этой формуле m_a в радианной мере выражена через m¢_a/ r¢, где m¢_a- в градусной мере, а r - градусная величина радиана, равная 3438¢.

Найдем выражение для частных производных:

¶DC / ¶ S = cos a, ¶DC / ¶a = - S× sin a

и подставим их в предыдущее равенство:

m²_DC= (cos a m_s)² + ( - S× sina × (m¢_a/ r¢) ) ²

Заменив буквы соответствующими числами, получим:

m²_DC= (cos 144°30¢×0.11)² + ( - 490 sin 144°30¢×(1.0/3400)) ² = 0.0080 + 0.0070 = 0.0150

Отсюда:

m_DC= 0,12 м

Контрольная задача 3

При тригонометрическом нивелировании были получены величины: расстояние, измеренное нитяным дальномером D = 210.5 ± 0.8 м; угол наклона визирной оси при наведении на верх рейки n = ...0,5'; высота прибора i = 1,30 ± 0,008 м, высота рейки V = 3,00 ± 0,015 м.

Вычислить превышение и его предельную погрешность.

Указание: функция для оценки точности имеет вид

h = 1/2 D×sin2n + i - V

Контрольная задача 4

При определении расстояния АВ, недоступного для измерения лентой, в треугольнике АВС были измерены:

базис АС = 84,55 ± 0,11 м, углы А = 5б°27' и С= 35°14' с СКП равной m _b= 1'.

Вычислить длину стороны АВ и ее СКП.

Указание: для решения задачи применить теорему синусов.

Контрольная задача 5

Определить СКП расстояния, вычисленного по формуле:

____________________

S = Ö (Х₂- Х₁)² ­+ (У₂ - У₁)²

если X₂= 6 068 740 м; Y₂=431 295 м;

X_­1= 6 068 500 м; Y₁= 431 248 м.

m_х= m _у= 0,1 м.