СМО с отказами и полной взаимопомощью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения

СМО с отказами (классическая система Эрланга). Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

x₀ – все каналы свободны, ни одна заявка не обслуживается;

x₁ – занят ровно один канал (какой – не важно), обслуживается одна заявка;

x_k – занято ровно k каналов (каких именно – не важно), обслуживается k заявок;

x_n – все n каналов заняты, обслуживается n заявок.

Система уравнений

Основные характеристики определяются следующим образом:

1. Вероятность того, что занято ровно k каналов,

2. Среднее число занятых каналов:

3. Вероятность обслуживания заявки (относительная пропусканная способность системы): , где – плотность потока обслуженных заявок (абсолютная пропускная способность системы)

4. Вероятность того, что канал (любой) занят:

5. Вероятность того, что система полностью загружена:

6. Среднее время занятости канала:

7. Среднее время простоя канала:

8. Среднее время пребывания заявки в системе:

СМО с отказами для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Система уравнений

Математическая модель процесса «гибели и размножения». Граф, система уравнений.

Граф процесса

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний процесса гибели и размножения

,

............................................

,

............................................

,

.

Для интегрирования этой системы дифференциальных уравнений нужно задать начальные условия

Р₀(0); Р₁(0), ..., Р_n(0); .

Система алгебраических уравнений для вероятностей состояний простейшего процесса гибели и размножения

–λ ₀Р₀ + μ₁Р₀ = 0,

.…………………

–(λ_k + μ_k)Р_k + λ_kР_k–1+ μ_k+1Р_k+1 = 0 (k = 1,2, ... , n–1),

.………………….

λ_n–1Р_n–1 – μ_n Р_n = 0.

.

Математическая модель процесса «гибели». Граф, система уравнений.

Граф процесса

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний процесса гибели

,

............................................

,

............................................

,

.

Математическая модель процесса «размножения». Граф, система уравнений.

Граф процесса

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний процесса размножения

,

............................................

,

............................................

,

.

СМО с отказом и частичной взаимопомощью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Система уравнений

где n – число каналов обслуживания, l – число взаимопомогающих каналов

Расчетные соотношения:

1)

Где ;

2)

Где

3)

4)

СМО с отказом и частичной взаимопомощью для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Система уравнений

где n – число каналов обслуживания, l – число взаимопомогающих каналов

СМО с отказами и полной взаимопомощью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Система уравнений:

–λ Р₀ + nμР₁=0,

.………………

–(λ + nμ)Р_k + λР_k–1 + nμР_k+1=0 (k = 1,2, ... , n–1),

……………....

λР_n–1 – nμ Р_n=0.

Расчетные соотношения:

1) .

2) Вероятность обслуживания заявки определяется из выражения

3) Среднее число занятых каналов определяется так:

4) Для этой системы вероятность того, что любой отдельный канал будет занят, равна вероятности того, что все каналы будут заняты.

.

5) Среднее время простоя

.

6) Среднее время занятости канала

.