Проектирование эвольвентного зубчатого зацепления

6.1 Геометрические размеры зацепления

Подавляющее большинство механизмов предназначено для преобразования вращательного движения начального звена во вращательное движение других звеньев с постоянным передаточным отношением. Этого достигают соответствующим выбором геометрии соприкасающихся элементов высшей пары.

Взаимодействующие поверхности элементов высшей пары, обеспечивающие заданный закон относительного движения звеньев, называются сопряженными поверхностями.

Чтобы воспроизвести непрерывное вращательное движение в одном направлении, надо иметь замкнутую систему сопряженных поверхностей (профилей), расположенных на выступах, называемых зубьями.

Высшая кинематическая пара, образуемая замкнутой системой последовательно взаимодействующих сопряженных поверхностей (профилей), называется зубчатым зацеплением.

Синтез зацепления состоит в отыскании геометрии сопряженных поверхностей (профилей) по заданному закону их относительного движения.

В эвольвентных зубчатых колесах профили зубьев очерчиваются по эвольвентам окружности с центром на оси колеса.

Геометрическое место центров кривизны какой- либо кривой называется эволютой, а сама кривая по отношению к эволюте - разверткой или эвольвентой. Следовательно, эвольвента окружности есть кривая, центры кривизны которой лежат на окружности. Эвольвента (для краткости в дальнейшем опускаем слово «окружности») может быть получена как траектория точки прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности. В теории зацепления окружность, эвольвентой которой является профиль зуба, называется основной окружностью.

На рис. 6.1 показано построение эвольвенты основной окружности при перекатывании по ней прямой , называемой производящей прямой.

Обозначим через острый угол между касательной к эвольвенте и радиусом- вектором эвольвенты ОМ. В теории эвольвентного зацепления он называется углом профиля. Угол, образованный начальным радиусом – вектором эвольвенты ОМ₀ и ее текущим радиусом ОМ, называется эвольвентным углом и обозначается через . Кроме того, обозначим через радиус основной окружности.

Рис. 6.1

Выразим длину делительной окружности через число зубьев колеса : , где - окружной шаг, т. е. расстояние, измеренное по дуге окружности диаметра между двумя соответствующими точками соседних зубьев. Отсюда

или (6.1),

где - отношение окружного шага к числу , называемое модулем зуба.

Окружной шаг и модуль для одного и того же зуба зависят от диаметра окружности, к которой они относятся.

Делительную окружность можно определить как окружность, для которой модуль имеет стандартную величину, или же как окружность, которая является базовой для определения размеров зубьев. Делительная окружность диаметра (рис. 6.2) делит зуб на две части: головку и ножку. Делительной головкой (сокращенно – головкой) зуба называется часть зуба, расположенная между делительной окружностью и окружностью вершин, диаметр которой обозначается через . Делительной ножкой (сокращенно - ножкой) зуба называется часть зуба, расположенная между делительной окружностью и окружностью впадин, диаметр которой обозначается через . Допускается также применение терминов «начальная головка» и «начальная ножка», если зуб делится по высоте не делительной, а начальной окружностью.

Различают внешние (рис. 6.2, а) и внутренние (рис. 6.2, б) зубья. У внешних зубьев окружность вершин находится снаружи окружность впадин, а у внутренних- внутри окружность впадин. Высота головки обозначаемся через , высота ножки – через - , общая высота зуба – через . Высота ножки больше высоты головки, так как между окружностью вершин зубьев одного колеса и окружностью впадин зубьев другого колеса должен быть зазор, называемый радиальным зазором. Каждый зуб очерчен двумя симметрично расположенными профилями. Расстояние между этими профилями, измеренное по какой- либо окружности, называется толщиной зуба. Толщина зуба по делительной окружности обозначается через .

Рис. 6.2

Толщина зуба по делительной окружности равна половине шага зацепления

Или

Модуль , в долях которого определяются размеры исходного контура, выбирают из стандартного ряда модулей. Остальные параметры по ГОСТ 13754-68 и СТ СЭВ 308-76 имеют следующие значения: угол профиля , коэффициент радиального зазора , радиус закругления .

Размеры зубчатых передач, составленных из колес, в которых делительные и начальные окружности совпадают, определяются следующими формулами:

высота головки зуба
высота ножки зуба
высота зуба
шаг зацепления
диаметр делительной окружности
диаметр окружности вершин зубьев
диаметр окружности впадин	(6.2)
толщина зуба по делительной окружности
ширина впадины по делительной окружности
радиальный зазор
межосевое расстояние

Нижние знаки в формулах (6.2) относятся к колесам с внутренними зубьями (рис. 6.2, б).

6.2 Построение картины эвольвентного зацепления для нормальных колес

Известны: модуль и число зубьев колес z₁ и z₂. Требуется построить внешнее эвольвентное зацепление.

По формулам (6.1-6.2) подсчитываем размеры зубчатых передач. Для колеса 1- шестерни- обозначаем параметры с индексом 1, для колеса 2 – с индексом 2 (d₁, d₂; d_a1; d_a2; d_f1 , d_f2).

Для наглядности картины эвольвентного зацепления необходимо выбрать такой масштаб, чтобы высота зуба на чертеже была не меньше 50 мм.

Определяем масштаб построения .

Пересчитываем все размеры с учетом масштаба.

Откладываем межосевое расстояние a_w = О₁О₂, из центров О₁ и О₂ проводим окружности радиусами и , называемые начальными. Они представляют собой геометрическое место точек, по которым звенья друг по другу перемещаются без скольжения.

В нашем случае начальные и делительные окружности совпадают (так как мы проектируем зубья колес без смещения). Но при этом надо иметь в виду их принципиальное отличие. Делительная окружность есть характеристика зубчатого колеса и диаметр ее постоянен. Начальные окружности дают характеристику зацепления двух зубчатых колес, и диаметры этих окружностей зависят от межосевого расстояния.

Проводим окружности вершин и впадин зубьев по найденным размерам (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Точка Р касания начальных окружностей будет полюсом зацепления, т.е. через нее должны проходить все общие нормали, проведенные через точки касания эвольвентных профилей. По третьему свойству нормаль эвольвенты пересекает окружность, концентрическую основной, под постоянным углом. Так как центры основных окружностей будут располагаться в центрах О₁ и О₂ вращения зубчатых колес, то начальные окружности являются концентрическими по отношению к основным. Следовательно, производящая прямая должна проходить через полюс Р зацепления и пересекать начальные окружности под углом зацепления, равным 20⁰.

Углом зацепления называется угол между линией зацепления и прямой, перпендикулярной межосевой линии.

От общей касательной начальных окружностей отложим угол зацепления a = 20⁰ и проведем линию зацепления. Из центров вращения зубчатых колес О₁ и О₂ опустим перпендикуляры О₁N₁ и О₂N₂ на линию зацепления. Получим прямую N₁N₂ - производящую прямую.

Отрезок N₁N₂ является геометрическим местом точек контакта сопряженных профилей и называется теоретической линией зацепления.

Действительная линия зацепления представляет собой отрезок прямой, заключенный между началом и концом зацепления. Начало и конец зацепления (точки a и b) – это точки пересечения окружностей вершин зубьев с линией зацепления.

Так как производящая прямая должна быть касательна к основным окружностям, то радиусы основных окружностей r_b1 и r_b2 –это длины перпендикуляров О₁N₁ и О₂N_2. Из центров О₁ и О₂ проводим дуги основных окружностей.

Профили зубьев очерчиваются по эвольвентам. Чтобы вычертить эвольвенту, надо иметь основную окружность, производящую прямую и чертящую точку на ней. Обычно за чертящую точку берется полюс зацепления Р. При перекатывании производящей прямой N₁Р по первой основной окружности (радиуса r_b1) получается эвольвента (профиль зуба) первого колеса, при перекатывании производящей прямой N₂Р по второй основной окружности (радиуса r_b2) получается эвольвента (профиль зуба) второго колеса. Профили зубьев должны быть от окружности вершин зубьев до окружности впадин, но эвольвента идет только до основной окружности.

Если число зубьев больше 41, то радиус основной окружности меньше радиуса окружности впадин, и весь профиль зуба может быть очерчен по эвольвенте. Если же z < 41, то радиус основной окружности больше радиуса окружности впадин и только часть профиля зуба получается эвольвентной.

Для построения эвольвенты отрезок РN₂ разбиваем на четыре равные части и из точки 3 радиусом 3-Р проводим дугу до пересечения с основной окружностью в точке Р₁. В этом случае дуга N₂Р₁ равна отрезку N₂Р. После этого на прямой РN₂ вниз от точки N₂ откладываем отрезки и , равные отрезку (рис. 6.4).

Дугу N₂Р₁ делим на 4 равные части, обозначаем точками , , , , откладываем вниз от точки N₂ точки и . Соединяем все шесть полученных точек с центром О₂. Из точек , , , , и . проводим перпендикуляры к соответствующим радиусам , , …, (или касательные к основной окружности в точках , , , , , ). На этих перпендикулярах откладываем отрезки , , , , , соответственно равные отрезкам 1P, 2P , 3P, 5Р, 6Р.

Соединяя последовательно точки , , , Р, , плавной кривой, получим эвольвенту для первого колеса.

Участок профиля зуба, заключенный между основной окружностью и окружностью впадин, будет нерабочим. В этом случае эвольвенту продолжают по прямой (по радиусу) и делают закругление (галтель) радиусом ρ_f = 0,38m, соединяющее профиль зуба с окружностью впадин. Если от полюса зацепления по начальной окружности отложим расстояние, равное четверти шага , то найдем ось симметрии зуба. Проводим оси симметрии обоих зубьев и относительно этих осей строим профили, симметричные только что вычерченным. Отложив от оси симметрии зуба по начальной окружности шаг зацепления р, получим ось симметрии следующего зуба. Имея ось симметрии зуба, нетрудно построить второй зуб. Обычно при построении зубчатого зацепления вычерчивают по три зуба на каждом зубчатом колесе (рис. 6.5).

Рис. 6.4

Не все участки профилей зубьев взаимодействуют друг с другом. Профиль головки зуба полностью участвует в зацеплении и работает по ножке сопряженного зуба. Профиль же ножки зуба не весь участвует в зацеплении. Тот участок профиля, на котором происходит фактическое касание сопряженных зубьев, называется активным.

Чтобы определить границу активного участка профиля, нужно на ножке зуба найти точку, сопряженную с вершиной парного зуба. Следовательно, чтобы найти активные участки профилей зубьев обоих колес, нужно через начало и конец зацепления (через точки a и b) провести дуги: из центра О₁ радиусом О₁а до встречи с профилем зуба в точке а₁, а через точку b из центра О₂ радиусом О₂b до встречи со своим профилем зуба в точке b₂. На рисунке 6.5 активные участки профилей заштрихованы.

Путь, пройденный любой точкой начальной окружности за время зацепления одной пары сопряженных зубьев называется дугой зацепления. Длина дуги зацепления равна длине дуги начальной окружности, заключенной между профилями зуба, проведенными через начало и конец зацепления (через точки а и b).

6.3 Качественные показатели зубчатой передачи

Свойства спроектированной зубчатой передачи характеризуются ее качественными показателями, главнейшим из которых является коэффициент перекрытия.

Для нормальной работы зубчатого зацепления длина дуги должна быть больше шага. Если дуга зацепления будет меньше шага, то в таком зацеплении будут происходить перерывы, а, следовательно, и удары, что недопустимо.

Если дуга зацепления будет точно равна шагу, то следующая пара зубьев будет сцепляться в тот момент, когда предыдущая пара расцепляется. Такое зацепление тоже нежелательно, необходимо хоть небольшое перекрытие. Поэтому дуга зацепления должна быть больше шага.

Коэффициент перекрытия характеризует такие важнейшие свойства процесса зацепления, как его непрерывность и продолжительность.

Отношение дуги зацепления к шагу зацепления называется коэффициентом перекрытия

(6.3)

Для внешнего зацепления коэффициент перекрытия колеблется в пределах e = 1,2 – 1,8.

Для аналитического расчета этого коэффициента следует длину действительной линии зацепления выразить через основные размеры зубчатых колес.

После преобразований получим окончательную формулу для определения коэффициента перекрытия при внешнем зацеплении:

(6.4)

Коэффициент удельного давления учитывает влияние геометрии зубьев (радиусов кривизны их профилей) на величину контактных напряжений, возникающих в местах соприкосновения зубов. Чем больше радиусы кривизны, тем меньше контактные напряжения.

Коэффициент контактного напряжения

(6.5)

где - приведенный радиус кривизны эвольвентных профилей в точке К контакта, определяемый как

.

Используя третье свойство эвольвенты, запишем формулу коэффициента удельного скольжения для момента зацепления, когда зубья соприкасаются в полюсе Р:

(6.6)

Коэффициенты скольжения учитывают влияние геометрических и кинематических факторов на величину проскальзывания профилей в процессе их зацепления. Чем интенсивнее проскальзывание, тем значительнее износ зубьев.

Коэффициент скольжения шестерни 1 принято подсчитывать для того момента зацепления, когда зубья соприкасаются в точке , т. е. когда в зацеплении находится ножка зуба шестерни; коэффициент скольжения колеса 2 – когда зубья соприкасаются в точке , т. е. когда в зацеплении находится ножка зуба колеса (рис. 6.6).

Рис. 6.6

Тогда расчетные формулы применительно к внешнему эвольвентному зацеплению примут вид:

(6.7)

(6.8)