Теорема об изменении кинетической энергии системы
Если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой 
, имеющую скорость 
, то для этой точки будет
,
где 
и 
- элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, получим
,
или
. (2)
Равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Если полученное выражение отнести к элементарному промежутку времени, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, можно получить вторую формулировку для дифференциальной формы теоремы: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних ( 
) и внутренних ( 
) сил, т.е.
.
Дифференциальными формами теоремы об изменении кинетической энергии можно воспользоваться для составления дифференциальных уравнений движения, но это делается достаточно редко, потому что есть более удобные приемы.
Проинтегрировав обе части равенства (2) в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна 
, в положение, где значение кинетической энергии становится равным 
, будемиметь
.
Полученное уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
В отличие от предыдущих теорем, внутренние силы в уравнениях не исключаются. В самом деле, если 
и 
- силы взаимодействия между точками 
и 
системы (см. рис.51), то 
. Но при этом точка , может перемещаться по направлению к , а точка - по направлению к . Работа каждой из сил будет тогда положительной и сумма работ нулем не будет. Примером может служить явление отката. Внутренние силы (силы давления), действующие и на снаряд и на откатывающиеся части, совершают здесь положительную работу. Сумма этих работ, не равная нулю, и изменяет кинетическую энергию системы от величины 
в начале выстрела до величины 
конце.
Другой пример: две точки, соединенные пружиной. При изменении расстояния между точками упругие силы, приложенные к точкам, будут совершать работу. Но если система состоит из абсолютно твердых тел и связи между ними неизменяемые, не упругие, идеальные, то работа внутренних сил будет равна нулю и их можно не учитывать и вообще не показывать на расчетной схеме.
Рассмотрим два важных частных случая.
1) Неизменяемая система. Неизменяемой будем называть систему, в которой расстояния между точками приложения внутренних сил при движении системы не изменяются. В частности, такой системой является абсолютно твердое тело или нерастяжимая нить.
Рис.51
Пусть две точки и неизменяемой системы (pис.51), действующие друг на друга с силами и ( 
) имеют в данный момент скорости 
и 
. Тогда за промежуток времени dt эти точки совершат элементарные перемещения 
и 
, направленные вдоль векторов и . Но таккак отрезок 
является неизменяемым, то по известной теореме кинематики проекции векторов и ,а, следовательно, и перемещений 
и 
на направление отрезка будут равны друг другу, т.е. 
. Тогда элементарные работы сил и будут одинаковы по модулю и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль. Этот результат справедлив для всех внутренних сил при любом перемещении системы.
Отсюда заключаем, что для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения принимают вид
или 
.
2) Система с идеальными связями. Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда
,
где 
- элементарная работа действующих на k-ю точку системы внешних и внутренних активных сил, a 
- элементарная работа реакций наложенных на ту же точку внешних и внутренних связей.
Как видим, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких «идеальных» механических системах, у которых наличие связей не влияет на изменение кинетической энергии системы при ее движении. Для таких связей должно, очевидно, выполняться условие:
.
Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи называют идеальными. Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будем, очевидно, иметь
или 
.
Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении, приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.
Механическая система называется консервативной (энергия ее как бы законсервирована, не изменяется), если для нее имеет место интеграл энергии
или 
(3)
Это есть закон сохранения механической энергии: при движении системы в потенциальном поле механическая энергия ее (сумма потенциальной и кинетической) все время остается неизменной, постоянной.
Механическая система будет консервативной, если действующие на нее силы потенциальны, например сила тяжести, силы упругости. В консервативных механических системах с помощью интеграла энергии можно проводить проверку правильности составления дифференциальных уравнений движения. Если система консервативна, а условие (3) не выполняется, значит при составлении уравнений движения допущена ошибка.
Интегралом энергии можно воспользоваться для проверки правильности составления уравнений и другим способом, без вычисления производной. Для этого следует после проведения численного интегрирования уравнений движения вычислить значение полной механической энергии для двух различных моментов времени, например, начального и конечного. Если разница значений окажется сопоставимой с погрешностями вычислений, это будет свидетельствовать о правильности используемых уравнений.
Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии состоит в том, что при не изменяющихся со временем идеальных связях она позволит исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.
Теорему об изменении кинетической энергии удобно использовать при решении задач, в которых требуется установить зависимость между скоростями и перемещениями тел.
Пример 13. Какую скорость надо сообщить точке М стержня, прикрепленного верхним концом с помощью шарнира О к неподвижной поверхности (рис.52), чтобы стержень совершил четверть оборота?
Рис.52
В первом, вертикальном, положении кинетическая энергия стержня, начавшего вращаться вокруг оси О,
.
Во втором положении, где стержень достигнет горизонтального положения и остановится на мгновение, Т2 = 0.
Работу совершит только вес стержня Р: 
По теореме получим уравнение 
, из которого следует 