Граничний перехід у нерівностях
Теорема . Якщо елементи збіжної послідовності , починаючи з деякого номера , задовольняють нерівність , то і границя цієї послідовності задовольняє нерівність .
Доведення. Нехай, починаючи з деякого номера , елементи збіжної послідовності задовольняють нерівність і . Припустимо, що . Оскільки , то для існує номер такий, що для виконується нерівність , яка рівносильна нерівності . Тоді із нерівності одержуємо: , що суперечить умові. Отже, .
Випадок доводиться аналогічно.
Наслідок 1. Якщо елементи збіжних послідовностей і , починаючи з деякого номера , задовольняють нерівність , то .
Нехай, починаючи з деякого номера, виконується нерівність . Тоді для таких . Отже, , а тому . Звідси маємо . Другий випадок установлюється аналогічно.
Теорема. Нехай члени послідовностей , , , починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність і . Тоді послідовність збіжна й .
Доведення. Задамо довільне число . Тоді для заданого знайдеться такий номер , що для виконуватиметься нерівність , тобто . Для цього ж знайдеться такий номер , що для , тобто .
Виберемо . Тоді виконуватиметься нерівність
для всіх .
Ураховуючи умову теореми, маємо
або , тобто для всіх . Звідси випливає, що .
Монотонні послідовності
Послідовність називається неспадною ( незростаючою ), якщо виконується нерівність для усіх .
Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.
Якщо для всіх членів монотонної послідовності виконується строга нерівність , то послідовність називається зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називаються також строго монотонними.
З означення випливає, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони: неспадна обмежена знизу, а незростаюча – зверху.
Теорема. Монотонна обмежена послідовність збіжна.
Доведення. Розглянемо випадок неспадної послідовності .
Отже, нехай для усіх виконуються наступні умови:
1) ;
2) існує таке число , що .
Розглянемо числову множину , яка складається з усіх елементів послідовності . За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу.
Позначимо . Покажемо, що .
Оскільки - точна верхня межа елементів послідовності , то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якого існує номер такий, що . Так як послідовність неспадна, то при виконується нерівність . З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі, для всіх . Таким чином, при маємо нерівність , тобто при . Отже, .
Для випадку незростаючої послідовності доведення аналогічне.
*** Із теорем 2.5** і 2.8** випливає, що обмеженість монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності.
Число е
Розглянемо послідовність з загальним членом . Покажемо, що ця послідовність є збіжною. Для цього спочатку установимо, що вона зростаюча, а потім – що вона обмежена.
Згідно формули бінома Ньютона
Подамо цей вираз у наступному вигляді
(3)
Так само одержуємо
.
При виконується нерівність , тому , тобто послідовність зростаюча.
Оскільки кожний вираз, який стоїть у дужках у формулі (3) менший від одиниці і при , то
.
За формулою суми нескінченно спадної геометричної прогресії маємо
.
Отже, послідовність обмежена. Таким чином, послідовність із загальним членом збіжна. За означенням границю цієї послідовності позначають буквою , тобто
.