Выражения и их тождественные преобразования

Введение

Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражение, уравнение, неравенство. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, - это уточнить и углубить знания о выражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и числовых неравенствах, уравнениях и неравенствах.

Изучение данных понятий связано с использованием математического языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой, математический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он будет представлен частично в связи с необходимостью больше внимания уделить взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:

1) цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;

2) знаки операций +, -, ∙, : ;

3) знаки отношений <, >, = , ;

4) строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обозначения чисел;

5) скобки (круглые, фигурные и др.), их называют техническими знаками.

Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называя их выражениями, а из слов получаются предложения - числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными.

Выражения и их тождественные преобразования

Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3∙2-4, (25 + 3) ∙2-17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, укачанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3∙2-4 равно 2.

Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8: (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.

Рассмотрим запись 1а + 3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:

если а=7, то 2∙7 + 3;

если а = 0, то 2∙0 + 3;

если а = - 4, то 2∙ (-4) + 3.

В записи 1а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 - выражением с переменной.

Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например . Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2∙+ 3.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения. Например, область определения выражения 5:(х-7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х - 7 выражение 5: (7 - 7) смысла не имеет.

В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных. Например, 2а + 3 - это выражение с одной переменной, а(3х+8y) ∙z - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения.

Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если провести аналогию с русским языком, то выражения - это слова математического языка.

Но используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) - 12 или 3х - у:+)8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание - из каких законов алфавита математического языка образуются выражения числовые и с переменными, не является определением этих понятий. Дадим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично).

Определение. Если f и g - числовые выражения, то (f)+(g), (f)-(g), (f)∙(g) (f):(g) числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением.

Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6) : (2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо. Например, пишут так: 37-12 + 62-17+13 или 120:15 ∙ 7:12.

Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12 ∙ 4:3)+ (5 ∙ 8:2 ∙ 7) записывают так: 12 ∙ 4:3 + 5 ∙ 8 : 2 ∙ 7.

Задача. Найти значение выражения 3х(х-2) + 4(х-2) при х = 6.

Решение.

1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выражение: 3 ∙ 6 ∙ (6-2) + 4 ∙ (6-2). Чтобы найти значение полученного числового выражения, выполним все указанные действия:

3 ∙ 6 ∙ (6-2) + 4 ∙ (6-2)= 18 ∙ 4 + 4 ∙ 4 = 72+ 16 = 88.

Следовательно, при х = 6 значение выражения 3x(x-2)+4(x-2) равно 88.

2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его: 3х(х-2) + 4(х-2) = (x-2)(3x+4). И затем, подставив в полученное выражение вместо х число 6, выполним действия:

(6-2) ∙ (3 ∙ 6 + 4) = 4 ∙ (18 + 4) = 4 ∙ 22 = 88.

Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Например, выражение 18 ∙ 4+4 ∙ 4 заменяли выражением 72+16, а выражение 3х(х-2) + 4(х-2) - выражением (х - 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.

Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Примером тождественно равных выражений могут служить выражения 5(х+ 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных значениях х их значения равны.

Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Например 5(х + 2) = 5х + 10 - тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: ( x R) 5(x + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему выражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование первого выражения. Но как, имея два выражения узнать, являются ли они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, которыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразования выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгебраических операций, определения понятий.

Приведем пример тождественных преобразований выражения.

Задача. Разложить на множители выражение ax-bx+ab-b².

Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ax-bx+ab-b² = (ax-bx)+(ab-b²). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.

Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель: (ax-bx) + (ab-b²) = x(a-b) + b(a-b)- это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности умножения относительно вычитания действительных чисел.

В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: x(a-b)+b(a-b) = (a-b)(x-b). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.

Итак, ax-bx+ab-b² = (a-b)(x-b).

В начальном курсе математики выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений.

Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавления суммы к числу, числа к сумме, вычитания числа из суммы и др. Например, чтобы найти произведение 35-4, надо выполнить преобразования: 35-4 = (30 + 5)4 = 30-4+5-4 = 120 + 20 = 140. В основе выполненных преобразований лежит свойство дистрибутивности умножения относительно сложения; принцип записи чисел в десятичной системе счисления (35 = 30 + 5); правила умножения и сложения натуральных чисел.