Прямая в пространстве и различные способы ее задания

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору имеет вид:

(1)

и называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Здесь – радиус-вектор произвольной точки М(x,y,z) прямой; – радиус-вектор фиксированной точки , t – параметр, принимающий всевозможные действительные значения. Вектор называется направляющим вектором прямой, а его координаты – направляющими коэффициентами прямой.

Если в уравнении (1) перейти к координатам векторов, то получаются параметрические уравнения прямой:

(2)

Если из уравнений (2) исключить параметр t, то получаются канонические уравнения прямой:

(3)

Уравнения прямой, проходящей через две точки М₁(x₁,y₁,z₁) и М₂(x₂,y₂,z₂) имеют вид:

(4)

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей

Т.о., прямая определяется совместным заданием системы двух линейных уравнений:

(5)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Прямая в пространстве. Стр. 1.

Они называются общими уравнениями прямой. В этом случае направляющий вектор прямой можно определить следующим образом:

.

Пусть заданы две прямые: и . Тогда условие параллельности прямых записывается в виде: , условие перпендикулярности– в виде: , а угол между ними вычисляется по формуле

.

Пример 1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M₁(2;0;–3) параллельно: а) вектору ; б) прямой ; в) оси Ox.

Решение. а) Так как искомая прямая параллельна вектору , то этот вектор можно принять за ее направляющий вектор. Тогда канонические уравнения искомой прямой имеют вид:

б) Так как искомая прямая параллельна прямой с направляющим вектором , то этот вектор параллелен искомой прямой, значит, его можно принять за направляющий вектор искомой прямой. Тогда канонические уравнения искомой прямой имеют вид:

.

в) Так как искомая прямая параллельна оси Ox, значит, она параллельна вектору , т.е. и канонические уравнения искомой прямой имеют вид:

.

Случай, когда хотя бы в одном знаменателе канонических уравнений прямой получается ноль, не лишено смысла, но свидетельствует о том, что направляющий вектор прямой имеет одну или две нулевые координаты. В таких случаях лучше записывать параметрические уравнения прямой:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Прямая в пространстве. Стр. 2.

Пример 2. Составить канонические уравнения прямой

Решение. Для составления канонических уравнений прямой необходимо знать направляющий вектор и какую-нибудь фиксированную точку на прямой M₀. Направляющий вектор вычислим как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, эту прямую образующих. Т.к. , , то

В качестве фиксированной точки можно выбрать любую точку прямой. Зададим одну из координат искомой точки произвольно. Пусть z=0. Тогда

.

Теперь составляем канонические уравнения прямой, зная ее направляющий вектор и фиксированную точку M₀: