Теорема о среднем значении

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: 1) непре- рывна на ; 2) дифференцируема на ; 3) . Тогда существует точка такая, что .

Доказательство. В силу непрерывности функции на замкнутом промежутке существуют точки такие, что , и, поэтому .

Для этих точек имеется 2 возможности: 1) они совпадают с концами промежутка; 2) хотя бы одна из них является внутренней точкой.

В первом случае из следует, что , то есть . Поэтому, .

Во втором случае, точка или , попавшая внутрь промежутка, является точкой экстремума функции и так как дифференцируема в этой точке, то по теореме Ферма .

Обе возможности приводят к тому, что внутри существует точка c, в которой .

Замечание 1. На геометрическом языке теорема Ролля означает следующее: если крайние ординаты кривой равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси Ox. При этом требования непрерывности функции на и дифференцируемости на существенны и не могут быть ослаблены.

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Тогда существует точка такая, что справедлива формула:

. (1)

Доказательство. Введем вспомогательную функцию , определив её на равенством:

.

Эта функция, так же как и , удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля. Подберем l так, чтобы (третье условие теоремы Ролля):

.

Теперь к функции можно применить теорему Ролля: и : , т.е.

.

Теорема доказана.

Замечание 2. Теорему Лагранжа называют основной теоремой дифференциального исчисления, а формулу (1), записанную в виде

, (2)

называют формулой конечных приращений. Положим , а точку c, лежащую между x и запишем в виде , где . Тогда:

.

Эта формула даёт точное значение для приращения функции при любых конечных приращениях аргумента. Этим она отличается от формулы бесконечно малых приращений (§4, тема “Производная”)

,

из которой получается лишь приближенное равенство

,

справедливое для достаточно малых .

Замечание 3. Пусть . Тогда правая часть формулы (1) есть угловой коэффициент секущей AB. Геометрически теорема Лагранжа означает следующее: на графике функции между точками А и В найдется точка , касательная в которой параллельная секущей AB.

Несмотря на то, что в формуле конечных приращений фигурирует неизвестное число с (или ), эта формула имеет многочисленные приложения.

Пример 1. Доказать оценку

.

Для доказательства рассмотрим функцию . Тогда

, .

Значит, , где . Оценим производную функции

в точке с:

.

Умножая все части этого двойного неравенства на 0.2, получим:

.

Пример 2. Формула (1) позволяет доказывать некоторые полезные неравенства. Например,

, ,

так как . Или

, если только : для .

Лекция 11