Арапайым итерация әдісі

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.31)

(3.31)- жүйені қандай да бір амалдар қолданып келесі түрге келтірейік,

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.32)

немесе қысқаша жазсақ: Арапайым итерация әдісі - student2.ru

(3.32) – жүйенің оң жағы n - өлшемді векторлық кеңістікте x(x1,x2,…,xn) нүктесін осы кеңістіктің y(y1,y2,…,yn) нүктесіне айналдыратын бейнелеу болып табылады:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.33)

(3.32) – жүйені қолданып, бастапқы Арапайым итерация әдісі - student2.ru нүктені таңдап алып n - өлшемді векторлық кеңістікте нүктелердің итерациялық тізбегін құруға болады:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.34)

(3.34) – итерациялық тізбек жинақты болса, оның шегі (3.32) итерациялық жүйенің шешімі болады. Тізбектің жинақтылығын дәлелдеу үшін функционалдық анализдің кейбір ұғымдары керек:

1-анықтама:

Х жиынының х және у нүктелерінің ара қашықтығын анықтайтын

Арапайым итерация әдісі - student2.ru функциясы метрика деп аталады, егер төмендегі шарттар

орындалса:

1 Арапайым итерация әдісі - student2.ru ;

2 Арапайым итерация әдісі - student2.ru , егер х=у болғанда ғана;

3 Арапайым итерация әдісі - student2.ru ;

4 Арапайым итерация әдісі - student2.ru ;

2-анықтама:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru Метрикасы енгізілген жиын метрикалық кеңістік деп аталады.

3-анықтама:

Егер F толық метрикалық кеңістікте анықталған қысыңқы бейнелеу болса:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.35)

онда x=Fx болатын жалғыз қозғалмайтын нүкте табылады. Бұл жағдайда F бейнелеуіне құрылған итерациялық тізбек кез келген бастапқы жуықтауларда х нүктесіне жинақталады. Мұндағы: Арапайым итерация әдісі - student2.ru , Арапайым итерация әдісі - student2.ru , Fx, Fy- х,у нүктелерінің бейнелері.

4-анықтама: (қысыңқы бейнелеу принципі)

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін төмендегі үш метрикалық кеңістікте қарастыруға болады:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.36)

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.37)

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.38)

(3.36) – метрикалық кеңістікте:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.39.)

теңсіздігі немесе (3.37) – метрикалық кеңістікте:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.40)

теңсіздігі немесе (3.38) - метрикалық кеңістікте:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.41)

теңсіздіктерінің ең болмағанда біреуі орындалса, онда (3.33) – теңдеумен берілген F бейнесі қысыңқы бейнелеу болады және итерациялық процесс кез келген бастапқы жуықтауларда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады.

(3.32) – түріне келтірілген итерациялық жүйеге карапайым итерация әдісін қолданбас бұрын жүйенің матрицасының диагональды элементтерінің басым болғаны дұрыс. Яғни Арапайым итерация әдісі - student2.ru . Және коэффициенттер 1-ден кіші болуы керек: Арапайым итерация әдісі - student2.ru . Бұл шарттың орындалуы қысыңқылық шарттарды қанағаттандыратын қажетті шарт. Ал жеткіліктілік шарт (3.39) – (3.41.) шарттардың ең болмағанда біреуі орындалуы керек. Егер диагональдық басымдылық болмаса жүйеге қандай да бір ауыстырулар мен алмастырулар, арифметикалық амалдар қолдануға болады.

Әдісті қолдануға болады деген тұжырымға келгеннен кейін өзіміз бастапқы жуықтауларды таңдап алып итерациялық процесс құрамыз:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.41)

Егер е- дәлдікке дейін шешім табу керек болса, онда есептеу процесін

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.42)

немесе

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.43)

шарттары орандалғанша жалғастырады. Мұндағы Арапайым итерация әдісі - student2.ru - евклид кеңістігіндегі соңғы, көрші жуықтаулардың ара қашықтығы. Бастапқы жуықтаулар ретінде практикада көбіне жүйенің бос мүшелері алынады.

1- мысал:

-7х1+4х2 - 4х3=-8

1 - 6х2 - х3=-5

-2х1 - х2 +6х3=3

Бұл жүйе матрицасында диагональдық басымдылық бар. (3.39) – (3.41) – шарттардың орындалуын ұйымдастыру керек. Ол үшін жүйенің матрицасын және бос мүшелер векторын

Арапайым итерация әдісі - student2.ru матрицасына көбейтейік:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru . Арапайым итерация әдісі - student2.ru Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Бұл жүйе үшін жинақтылық шарттар орындалады. Сондықтан жүйені итерациялық түрде жазамыз:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Итерацияның бастапқы жуықтаулары ретінде бос мүшелерін алайық: Арапайым итерация әдісі - student2.ru . Келесі жуықтаулар мына формуламен есептеледі:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru , k=0,1,2,…,n

2-мысал:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Мұндағы теңдеулерді қолдануға оңай болуы үшін рим цифрларымен белгіледік. Диагональдық басымдылықты алу үшін (I) – теңдеудің орнына (II) – теңдеуді, ал 2-ші теңдеу етіп (I+II) – теңдеуін жазамыз, (III) – теңдеудің орнына (I ) теңдеуді жазамыз:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Бұл жүйеде диагональдық басымдылық бар. Сондықтан итерациялық түрге келтіру үшін жүйенің әр теңдеуін мүшелеп диагональдық элементіне бөлеміз де коэффициенті 1-ге тең белгісіздер арқылы өрнектейміз:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Жинақтылығын зерттейміз:

1-ші метрикалық кеңістікте:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

жинақтылық шарты бұл кеңістікте орындалмайды екен.

2-ші метрикалық кеңістікте:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

жинақтылық шарты орындалды.

3-ші метрикалық кеңістікте:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Жинақтылық шарты орындалатыны байқалды, яғни бастапқы жуықтаулар ретінде бос мүшелерді алып итерациялық процесс құрамыз:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru ; Арапайым итерация әдісі - student2.ru ; Арапайым итерация әдісі - student2.ru ;

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

k=0,1,2,…

Арапайым итерация әдісі - student2.ru шарты орындалғанша итерация жүреді.

Зейдель әдісі

(3.31)– жүйе (3.32) – итерациялық түрге келтірілсін. Бұл жүйені қарапайым итерация әдісімен шешкенде итерациялық процесстің әр қадамы белгілі бастапқы жуықтаудан белгісіздің жаңа жуықтауына көшуден тұратын еді. Белгілі бастапқы жуықтаудың элементтерін x1, x2, … , xn деп, ал есептелетін келесі жуықтауларды y1, y2, … , yn деп белгілейік. Сонда есептеу формулалары келесі түрге көшеді:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3.46)

Зейдель әдісінің негізгі идеясы итерациялық процестің әр қадамында yi-дің мәндерін есептеу барысында оның алдында есептелген y1, y2, … , yi-1 мәндері қолданылады да (3.46)– ны ашып жазсақ, Зейдель формуласы келесідей болады:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (3,47 )

(3,47)– итерациялық процесінің жинақтылығы үш метрикалық кеңістікте мына шарттардың бірі орындалуымен бекітіледі:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru кеңістікте

Арапайым итерация әдісі - student2.ru шарты (3.48)

Арапайым итерация әдісі - student2.ru кеңістікте

Арапайым итерация әдісі - student2.ru шарты (3.49)

Арапайым итерация әдісі - student2.ru кеңістікте

Арапайым итерация әдісі - student2.ru шарты (3.50)

Егер бұл шарттардың біреуі орындалса, (3.47)– итерациялық процесс кез келген бастапқы жуықтауда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады.

Зейдель әдісін жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұрған жағдайда қолданады. Егер матрица симметриялы болмаса оны симметриялы түрге келтіру үшін жүйенің матрицасын және векторларын транспонирленген матрицаға көбейтеді:

АТ*А*х=AT*b (3.51)

Белгілеулер енгіземіз:

AT*A=C

AT*b=D

Сонда

Cx=D (3.52)

(3.52) – жүйені қалыпты жүйе деп атайды. Қалыпты жүйенің элементтері симметриялы және диагональды элементтері нөлден өзгеше болады. Қалыпты жүйені алдында қарастырған амалдарды қолданып (3.47)– итерациялық жүйеге келтіруге болады.

(3.52) – қалыпты жүйеге эквивалентті (3.47)– келтірілген итерациялық жүйе үшін Зейдельдің итерациялық процесі өзінің жалғыз шешіміне кез келген бастапқы жуықтауларда жинақталады.

Егер е дәлдік берілсе, итерациялық әдіс Арапайым итерация әдісі - student2.ru , i=0,1,2,… шарты орындалғанға дейін жалғасады.

1-мысал:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Берілген жүйе үшін матрицасын, транспонирленген матрицасын құрып, жоғарыда айтылған әрекеттерді орындаймыз:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru , Арапайым итерация әдісі - student2.ru , Арапайым итерация әдісі - student2.ru .

Арапайым итерация әдісі - student2.ru . Арапайым итерация әдісі - student2.ru .

Сонымен анықталған матрица бойынша қалыпты жүйе құраймыз:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Итерациялық түрге келтіреміз:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Бұл жүйе үшін (3.48)– (3.50)– жинақтылық шарттары орынды. Ендеше бастапқы жуықтау таңдаймыз: х1=1, х2=1, х3=1.

Зейдель процесі келесідей жазылады:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Есептеу Арапайым итерация әдісі - student2.ru , i=0,1,2,… шарты орындалғанға дейін жалғасады.

2.5 Қуалау әдісі

Математикалық физиканың есептері көбінде үш диагональді сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімін табуға шектеледі, үш диагоналді сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің теңдеулерінде тек қана үш айнымалылардың коэффициенттері нөлге тең емес, қалған коэффициенттер нөлге тең.

Арапайым итерация әдісі - student2.ru (18)

Сондай жүйенің матрицасы үш диагоналді:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Үш диагоналді сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу тиімді әдісі болып қуалау әдісі табылады.

Қуалау әдісінің бірінші кезеңі – тура қуалау. Қуалау коэффициенттері келесі формулалармен табылады:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru . (19)

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Қуалау әдісінің екінші кезеңі – кері қуалау. Кері бағытта функцияның мәндері табылады:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru . (20)

Қуалау әдісін қолдану үшін әдістің жинақтылығы болуы керек. Жиынактылық шарты :

Арапайым итерация әдісі - student2.ru . (21)

Мысал 4

Жүйені қуалау әдісімен шеш.

Арапайым итерация әдісі - student2.ru

Шешім:

Қуалау әдісін қолдану үшін әдістің жинақтылығы болуы керек. Жиынактылық шарты орындалады:

Арапайым итерация әдісі - student2.ru .

Негізгі диагональ элементтері басқа элементтер қосындысынан кем емес, мысал 2,3>1+1,1.

Сонымен, қуалау әдісін қолдануға болады.

Арапайым итерация әдісі - student2.ru .

4 кестеде қуалау әдісін қолданудың натижесі көрсетілген.

4 - кесте. Қуалау әдісін қолдану.

i ai ci bi fi αi βi yi
1,00 -0,18 0,00 -0,09 - - 0,16
1,00 -2,30 1,10 2,00 -0,18 0,09 -0,39
1,10 -3,30 1,50 -1,00 -0,52 -0,99 -1,15
1,20 -2,80 1,30 -2,30 -0,55 0,76 3,49
1,20 -2,90 1,50 4,10 -0,61 0,65 -4,68
2,50 -3,80 1,20 0,20 -0,69 -2,25 3,53
1,30 -2,60 1,00 -4,20 -0,58 2,61 -1,58
1,20 -2,40 1,00 -3,20 -0,54 0,44 3,73
0,00 -0,20 1,00 3,10 -0,57 1,53 -3,85

Наши рекомендации