Тригонометрические функции, их свойства и графики

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".

Свойства функции синус y = sinx.

· Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .

· Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .

· Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

· Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .

· Функция синус - нечетная, так как .

· Функция убывает при ,

возрастает при .

· Функция синус имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках .

· Функция y = sinx вогнутая при ,
выпуклая при .

· Координаты точек перегиба .

· Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

· Область определения функции косинус: .

· Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .

· Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

· Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .

· Функция косинус - четная, так как .

· Функция убывает при ,
возрастает при .

· Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках .

· Функция вогнутая при ,
выпуклая при .

· Координаты точек перегиба .

· Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

· Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел.
Поведение функции y = tgx на границе области определения
Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами.

· Наименьший положительный период функции тангенс .

· Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

· Область значений функции y = tgx: .

· Функция тангенс - нечетная, так как .

· Функция возрастает при .

· Функция вогнутая при ,

выпуклая при .

· Координаты точек перегиба .

· Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

· Область определения функции котангенс: , где , Z – множество целых чисел.
Поведение на границе области определения
Следовательно, прямые , где являются вертикальными асимптотами.

· Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .

· Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

· Область значений функции котангенс: .

· Функция нечетная, так как .

· Функция y = ctgx убывает при .

· Функция котангенс вогнутая при ,
выпуклая при .

· Координаты точек перегиба .

· Наклонных и горизонтальных асимптот нет.