Глава 5. Численное дифференцирование

При анализе медицинских, инженерных и научных данных часто возникает необходимость найти наклон кривой, которая задана таблицей значений.

Возможна и другая ситуация: f(x) известна, но имеет очень сложное аналитическое выражение.

В первом случае классические методы дифференциального исчисления просто неприемлемы, а во втором случае их использование вызывает значительные трудности. В таких задачах вместо функции f(x) рассматривают интерполирующую функцию P(x), а затем полагают f '(x) » P'(x) на интервале a£x£b. Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции f(x).

Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность интерполяции R(x)=f(x)–P(x), то погрешность производной равна производной от погрешности этой функции

r(x)=f '(x)–P'(x)=R'(x).

Такое утверждение справедливо и для производных высших порядков.

В целом же численное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование.

Формулы для вычисления первой производной

Численное дифференцирование весьма чувствительно к погрешностям, вызванным неточностью исходных данных. Значительно меньшую погрешность имеет дифференцирование многочленов наилучшего среднеквадратического приближения (методом наименьших квадратов). На практике часто применяются формулы безразностного дифференцирования для производной первого порядка:

По трем точкам:

(5.1)

По четырем точкам:

; (5.2)

;

.

По пяти точкам:

;

;

; (5.3)

;

.

Формулы второй производной

По четырем точкам:

; (первое значение)

; (внутренние точки) (5.4)

. (последнее значение)

По пяти точкам:

;

;

; (5.5)

;

.

Заметим, что с ростом порядка производной резко падает точность численного дифференцирования. Поэтому на практике редко применяют формулы для производных второго порядка.

Примеры

№1. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, определить первые производные для функции у=х² на интервале [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить их значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (5.1):

Для сравнения этих значений с аналитическими составим таблицу:

i	хi	у=х2	Аналитические значения у΄=2х	Численные значения у΄
	1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8	1,44 1,96 2,56 3,24 4,84 5,76 6,76 7,84	2,4 2,8 3,2 3,6 4,4 4,8 5,2 5,6	2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,4 4,8 5,2 5,6

Таким образом, мы видим, что все значения первой производной полностью совпадают с аналитическими.

№2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, определить первые производные для функции у=х³ на отрезке [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить эти значения с аналитическими.

Решение.

Пользуемся формулами (5.2):

и т.д. по формуле для .

Для сравнения полученных значений с аналитическими составим таблицу:

i	хi	у=х3	Аналитические значения у´=3х2	Численные значения у´(х)
	1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8	1,728 2,744 4,096 5,832 10,648 13,824 17,576 21,952	4,32 5,88 7,68 9,72 14,52 17,28 20,28 23,52	4,32 5,88 7,68 9,72 14,52 17,28 20,28 23,52

Получим, что для функции у=х³ численное дифференцирование по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

№3. Найти вторую производную для функции у=х³ на отрезке [1; 3] с шагом 0,2, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам и сравнить полученные значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (5.4):

(первое значение)

(последнее значение)

и т.д. по формуле для внутренних точек.

Для сравнения составим таблицу:

i	хi	у=х3	Аналитические значения у″=6х	Численные значения у″
	1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8	1,728 2,744 4,096 5,832 10,648 13,824 17,576 21,952	7,2 8,4 9,6 10,8 13,2 14,4 15,6 16,8	7,2 8,4 9,6 10,8 13,2 14,4 15,6 16,8

Таким образом, получим, что для функции у=х³ численное нахождение второй производной по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

Варианты заданий

№ 5.1. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

1. у=е^х;

2. ;

3. у=ln x;

4. ;

5. y=sin x;

6. y=e^2x;

7. ;

8. у=(х–1)²;

9. y=cos x;

10. y=ln x²;

№ 5.2. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

11. у=sin x;

12. y=cos x;

13. y=sin(x²);

14. y=sin² x;

15. y=cos² x;

16. y=sin(2x);

17. y=cos(2x);

18. ;

19. y=ln² x;

20. y=ln³ x;

№ 5.3. Для перечисленных функций, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти вторые производные в точках от 1 до 3 с шагом 0,2 и сравнить полученные значения с аналитическими.

21. y=e^2x;

22. ;

23. ;

24. у=(х–1)²;

25. y=ln(x²);

26. y= ;

27. y=sin² x;

28. ;

29. ;

30. .

5.5. Контрольные вопросы