Разложение рациональных дробей

На простейшие

Рациональные дроби мы будем рассматривать только на множестве действительных чисел, и переменную в дальнейшем будем обозначать х.

2.3.1)Функция вида
,
где (k = 0,1,...,n) и (j = 0,1,...,m)– действительные числа, называется дробно-рациональной функцией или рациональной дробью.

Если , то дробь называется правильной, если – дробь неправильная.

2.3.2)Если = – неправильная дробь, то разделив многочлен Р(х) на многочлен Q(x), можно представить эту дробь в виде суммы

= S(x) + ,

где S(x) – частное, а r(x) – остаток от деления Р(х) на Q(x). Многочлен S(x) называют целой частью неправильной рациональной дроби. Таким образом, всякая неправильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби.

2.3.3)Правильные дроби вида:

I. II. III. IV.

называются простейшимиили элементарными.Здесь А, M, N, a, p, q – действительные числа, – натуральное число, квадратный трехчлен – неприводимый многочлен (его дискриминант ).

2.3.3)Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (разложить на простейшие дроби). При этом если знаменатель правильной дроби представлен в виде произведения неприводимых множителей (п.2.2.7), то

· каждому множителю вида в указанной сумме дробей соответствует дробь вида ;

· каждому множителю вида в разложении соответствует сумма т дробей ;

· множителю вида в разложении соответствует дробь вида ;

· множителю вида соответствует сумма дробей

2.4.5) Алгоритм разложения правильной рациональной дроби на простейшие:

1. Знаменатель дроби разложить на неприводимые множители. Заметим, что если при разложении получится квадратный трехчлен, имеющий иррациональные корни, то для упрощения действий можно считать его неприводимым.

2. Учитывая информацию 2.4.4, составить сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами, записав для каждого неприводимого множителя знаменателя соответствующую ему одну или несколько простейших дробей.

3. Найти коэффициенты разложения (например, методом неопределенных коэффициентов).

4. Подставить найденные значения коэффициентов в составленную формально сумму и записать окончательное разложение.

Пример 2.4.1

Разложить на простейшие дроби

а) ; б) .

Решение

Разложение дробей на простейшие будем проводить, придерживаясь приведенного выше алгоритма.

а) В числителе дроби стоит многочлен второй степени, в знаменателе – многочлен третьей степени. Значит, заданная дробь – правильная. Разложим знаменатель этой дроби на множители, для этого найдем корни многочлена-знаменателя .

Проверим вначале, используя информацию 2.2.10, имеет ли этот многочлен целые корни. Свободный член а₀ = 4 имеет делители ±1, ±2, ±4. Из них положительные числа корнями многочлена быть не могут, т.к. если в заданном многочлене придать переменной х положительное значение, то получим сумму положительных чисел, которая никогда не может быть равна нулю. Поэтому проверим только отрицательные делители, для чего используем схему Горнера (информация 2.2.12, стр. 52 и пример 2.1.4):

–1

Таким образом, х = –1 является корнем рассматриваемого многочлена и, используя вторую строку таблицы, можно записать:

.

Теперь заданную дробь можно записать в виде

=

Согласно информации 2.4.4, множителю в разложении дроби на простейшие соответствует одна дробь , а множителю – сумма двух дробей . Тогда разложение заданной дроби на простейшие имеет вид:

= = + .

Найдем коэффициенты разложения. Для этого записанную в правой части полученного равенства сумму приведем к общему знаменателю (этот общий знаменатель, очевидно, совпадает со знаменателем исходной дроби, записанным в виде произведения):

= .

Получили равенство двух дробей. Но две дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда равны их числители. Следовательно, получаем равенство числителей

.

Раскроем скобки и запишем левую часть этого равенства в виде многочлена:

,

.

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х многочленов левой и правой частей равенства (информация 2.2.2), получим

х² А + В = 1,

х 4А + 3В + С = 0,

св.чл. 4А + 2В + С = 0.

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными А, В, С, решая которую, находим

А = 1, С = 4, В = 0

Искомое разложение заданной дроби имеет вид

= .

б) Очевидно, дробь правильная. Разложим знаменатель этой дроби на неприводимые множители. Для этого найдем корни многочлена , или, что то же самое, корни биквадратного уравнения

.

Полагая , получим , откуда . Следовательно, квадратный трехчлен имеет корни и представим в виде произведения . Заменяя в этом равенстве t на , получим . Но, поскольку отрицательные, то уравнения и корней не имеют. Отсюда следует, многочлены , а значит, и многочлен на линейные множители на множестве действительных чисел не разлагаются. Таким образом, разложение знаменателя на неприводимые множители имеет вид

).

Каждому из этих множителей в разложении дроби будет соответствовать простейшая дробь III вида (информация 2.4.3). Таким образом,

.

Чтобы найти коэффициенты разложения, приведем дроби в этой сумме к общему знаменателю:

.

Полученная дробь равна исходной дроби, и поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели, то совпадают и числители:

.

Преобразуем левую часть этого равенства:

,

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочленов левой и правой частей, получим

Решая систему полученных уравнений, находим

.

Тогда искомое разложение имеет вид

.

Пример 2.4.2

Представить дробь в виде суммы многочлена и простейших дробей.

Решение

Заданная дробь – неправильная. Выделим целую часть этой дроби, разделив числитель на знаменатель

Тогда получим

= .

Чтобы разложить на простейшие полученную правильную дробь

представим знаменатель этой дроби в виде произведения:

х⁴ +2х³ + 2х² = х²(х² + 2х + 2).

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней (его дискриминант отрицательный), значит, получили разложение знаменателя на неприводимые множители.

Запишем общий вид разложения полученной правильной дроби на простейшие

= = .

Найдем коэффициенты этого разложения. Преобразуем

= .

Приравнивая числители полученной и разлагаемой дробей, получим

,

откуда имеем систему относительно неизвестных коэффициентов

х³ А + С = 4

х² 2А + В +D = 4

x 2A + 2B = 4

св.чл. 2В = 4.

Решая эту систему, найдем . Тогда разложение правильной дроби имеет вид

= ,

а исходная дробь будет представлена в виде суммы

= х – 2 + .

В рассмотренных выше примерах коэффициенты разложения дроби на простейшие были найдены методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим на примере еще один прием отыскания коэффициентов разложения, который часто называют «методом частных значений».

Пример 2.4.3

Представить дробь в виде суммы простейших дробей:

а) ; б) ; в) .

Решение

а) Хотя знаменатель дроби есть многочлен второй степени, считать эту дробь простейшей дробью типа не корректно, так как её знаменатель легко разлагается на линейные множители:

.

Запишем формально разложение этой дроби на простейшие:

.

Приведем к общему знаменателю сумму получившихся дробей:

.

Приравнивая числители полученной и исходной дробей, получим

. (*)

Известно, что равные многочлены при одном и том же значении переменной имеют равные значения (информация 2.2.2). Будем в равенстве (*) придавать переменной х числовые значения, и записывать равенство соответствующих значений многочленов левой и правой его частей. При этом, рационально придавать переменной такие значения, при которых вычисления наиболее просты (например, при которых отдельные слагаемые обращаются в ноль). В нашем случае удобно взять и . Получим:

откуда .

Тогда искомое разложение имеет вид

.

б) Чтобы разложить на простейшие дроби правильную дробь , разложим её знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения*):

.

Тогда разложение на простейшие дроби имеет вид

.

Приведем дроби в правой части этого равенства к общему знаменателю:

.

Знаменатели исходной и полученной дробей совпадают, поэтому из равенства этих дробей следует равенство и их числителей:

=3. (**)

Чтобы найти коэффициенты А, В, С также, как и в пункте а), будем придавать переменной х конкретные значения, и приравнивать значения левой и правой частей равенства (**). При этом заметим, что поскольку правая часть этого равенства – постоянное число 3, то и значение правой части при любых значениях переменной х равно 3.

При имеем**)

;

при

а при

.

Таким образом, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными

,

Решив её, находим

Тогда разложение заданной дроби на простейшие имеет вид

.

в)Рассмотрим дробь . Эта дробь – правильная и знаменатель ее уже разложен на неприводимые множители. Учитывая информацию 2.4.4, запишем формально разложение этой дроби на простейшие дроби:

.

Приведя в правой части равенства к общему знаменателю и приравняв числители исходной и полученной дробей, получим равенство

Очевидно, раскрывать скобки и приводить подобные члены, как это делалось в предыдущих примерах, здесь неудобно – очень громоздко и не исключены ошибки. Поэтому вновь воспользуемся методом частных значений. Получим:

Решая эту систему, находим

Следовательно,

.

Надеемся, вы справились с индивидуальным заданием по рассмотренной теме. Для закрепления усвоенного материала обязательно решите хотя бы некоторые из приведенных ниже задач для самостоятельного решения и ответьте на вопросы контрольного теста. Напомним, что тест по теме считается пройденным, если даны правильные ответы на 60% вопросов теста.