Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения

Прочитайте выражения: a³ – 5³ (2b + 3)³ (2x)³ + 1 (3y²)³ – x³ (9x - y) ³ 10³ + (5a) ³

Повторить формулы разности и суммы кубов:

a³ – b³ = (a-b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)

Повторить формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат разности, квадрат суммы.

а² – b² = (a-b)(a + b)

(a+b)² =a² +2 ab + b²

(a-b)² =a² -2 ab + b²

На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию различных приемов.

Пример 1. 36 a⁶ b^{3 –} 96a⁴ b⁴ + 64a²b⁵

Решение: 36 a⁶ b^{3 –} 96a⁴ b⁴ + 64a²b⁵ = 4a²b³(9a⁴ – 24a² b + 16b²) = 4a²b³(3a² – 4b)².

Комбинировали два приема:

– вынесение общего множители за скобки;

– использование формул сокращенного умножения.

Пример 2. a² + 2a b + b^{2 –} c²

Решение: a² + 2a b + b^{2 –} c² = (a² + 2a b + b²) – c² = (a + b)² – c²= ( a + b – c ) ( a + b + c )

Комбинировали два приема:

– группировку;

– использование формул сокращенного умножения.

Пример 3. y³ – 3y² + 6y – 8.

Решение: y³ – 3y² + 6y – 8 = ( y³ – 8 ) – ( 3y² -6y ) = ( y -2 ) ( y² + 2y + 4 ) – 3y( y – 2 )= ( y – 2)( y² + 2y + 4 – 3y )= ( y – 2)( y^{2 –} y + 4 )/

Комбинировали три приема:

– группировку;

– вынесение общего множителя за скобки;

– использование формул сокращенного умножения.

Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок :

Вынести общий множитель за скобку ( если он есть).

Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.

Попытаться изменить способ группировки ( если предыдущие способы не привели к цели ).

Пример 4. n³ + 3n² + 2n.

Решение: n³ + 3n² + 2n = n ( n² + 3n + 2 ) = n ( n² + 2n + n + 2 ) = n (( n² + 2n ) + ( n + 2 )) = n ( n ( n + 2 ) + n + 2 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ).

Комбинировали три приема:

– вынесение общего множителя за скобки;

– предварительное преобразование;

– группировку.

Отмечаем, что для решения этого примера мы использовали еще один прием разложения на множители – предварительное преобразование.

Даем ему характеристику

Предварительное преобразование

Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Квадратное уравнение имеет вид + bx + с = 0, а ≠0

Квадратный трёхчлен раскладывается на множители следующим образом:

ax² + bx + с = 0 a(x – x₁)(x – x₂),где x₁и x₂ – корниквадратного уравнения

Дискриминант: D = - 4ac

Если D > 0, то кв. ур-е имеет два различных корня, которые могут быть вычислены по формулам:

X_1,2 =

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня.

Если D < 0, то действительных корней нет.

Заполнить таблицу из 100 квадратных уравнений следующих десяти видов.

Неполные квадратные уравнения:

1) ax² + bx = 0;
2) ax² + c = 0; левую часть удобно представить в виде разности квадратов двух выражений;
3) ax² + c = 0; левую часть неудобно представить в виде разности квадратов двух выражений.

Полные квадратные уравнения, в которых:

4) a + b + c = 0;
5) a – b + c = 0;
6) левая часть уравнения представима в виде квадрата двучлена;
7) приведенное квадратное уравнение;
8) b = 2k;
9) b = 2k – 1;
10) D < 0.

В таблице по 10 уравнений каждого вида. Также в таблице имеются уравнения, в которых:

а) переменная обозначена латинской буквой, отличной от x;
б) записанные не в стандартном виде;
в) уравнения, которые можно упростить, разделив левую и правую части на число, отличное от нуля.

Решите самостоятельно.

1. Вместо знака * поставьте одночлен таким образом, чтобы упростить можно было с помощью формул сокращенного умножения:

a² +4 ab + *; 9x⁴ – 6x² y + *; 100a⁶ - * + b²; 4x⁴ – 25y² =(2* -5*)(2*****)

2. Решите уравнение: x² – x = 0 2x² – 4x =0 3x² – 7x = 0

3. Вычислите наиболее рациональным способом: 53² – 43² 108² – 98² - 67· 52

4. Найдите значение выражения 2a + b +2a² + ab, если: a= – 1; b=998; если: a=45,5; b= – 3; если: a=7,4; b= – 2

5. Разложить на множители многочлены:

20x³ y² + 4x² y² ; 27b³ + a⁶; 15a³ b +3a² b³ ; 2y(x-5) + x(x-5);

b(a +5) – c(a +5); 2an – 5bn – 10bn + am; x² + 6x +9; 49m² -25n² ;

2bx - 3ay -6by + ax; 3a² +3ab – 7a -7b; a⁴-b⁴; a² +ab – 5a -5b

5a^{3 –} 125ab² ; a^{2 –} 2ab + b² – ac + bc; 63ab^{3 –} 7a²b; m² + 6mn + 9n² – m – 3n

x² + 4x + 3; x³ + 3x² + 4; x² – 3x + 2; 12 y ³ – 20 y ²; x ⁴ – 1;

-5a³ -3a² –a; 4x ²y+3x² y²+2xy²; x ³ – 3 x ² y – 4 xy + 12 y ²; 36 a⁶ b^{3 –} 96a⁴ b⁴ + 64a²b⁵

y³ – 3y² + 6y – 8.

6. Раскрыть скобки: ( x + 3 )( x + 1 ); ( b – c )( b + c ) – a( a + 2c ); ( a – b )( a – b – c ); ( c – a )( c + a ) – b( b – 2a ); 5a( a – 5b )( a + 5b ); ( x² + 3 – x )( x² + 3+ x ); 7ab( 9b² – a );

( m + 3n )( m + 3n – 1 ); ( b – a – c )( b + a + c ); ( c – a + b )( с + a – b ); ( x – 2 )( x – 1 );

7. Упростить выражения:a) : б) + в) :

г) - д) + е) + ж) - з) +

и) + к) -