Примеры решения задач. Пример 1.Точечный заряд q находится на расстоянии l от плоской границы раздела двух диэлектрических полупространств с проницаемостями e1 и e2 соответственно

Пример 1.Точечный заряд q находится на расстоянии l от плоской границы раздела двух диэлектрических полупространств с проницаемостями e₁ и e₂ соответственно. Определить поверхностную плотность связанного заряда на границе полупространств как функцию расстояния от заряда до точки поверхности.

Первый способ

Электрическое поле в каждом из диэлектриков можно рассматривать как суперпозицию двух полей в вакууме – поля точечного заряда и поля плоскости, заряженной с поверхностной плотностью заряда s¢ (s¢ - поверхностная плотность связанного заряда). Тогда для нормальных составляющих поля в первом и втором диэлектриков можно записать соотношения (см. рис.1.10):

,

где .

Тогда .

На границе двух диэлектриков , т.е. . Подставляя значения и в граничные условия, получаем уравнение относительно s¢:

.

Решение этого уравнения дает .

Второй способ

Задача может быть решена и с привлечение метода изображений с заменой границы раздела зарядами-изображениями. Так, поле на границе раздела со стороны второго диэлектрика можно представить как результат наложения полей в неограниченном диэлектрике с проницаемостью e₂ зарядов q и зеркального q¢ - см. рис. 1.11а). Поле на границе раздела со стороны первого диэлектрика представляется полем заряда q¢¢ в неограниченном диэлектрике с проницаемостью e₁, причем этот заряд находится в точке расположения реального заряда q (рис.1.11б)). Из условия непрерывности потенциалов на границе получаем

или .

Для нормальных составляющих векторов индукции условие их непрерывности на границе имеет вид:

или .

Решая эти уравнения относительно зарядов-изображений, получаем и .

Учтем, что , и, кроме того, что . Тогда, подставляя значения зарядов-изображений в выражения для и , из равенства нормальных составляющих индукции на границе двух диэлектриков окончательно получае .

Пример 2.Круглый диэлектрический диск радиуса R, толщина h которого много меньше его радиуса, статически поляризован так, что вектор поляризации, равный , всюду одинаков и лежит в плоскости диска. Найти напряженность электрического поля в центре диска.

Т.к. в рассматриваемом примере свободные заряды отсутствуют, то электрическое поле создается связанными зарядами, равномерно распределенными по боковой поверхности диска с плотностью s¢, как показано на рис.1.12. Поле в центре диска является суперпозицией элементарных полей с напряженностью , создаваемых элементарными поверхностными зарядами противоположного знака. Из рис.1.12 видно, что

,

где dE₁ = dE₂ - модули напряженностей полей, создаваемых в точке О элементарными поверхностными зарядами противоположного знака. Тогда .

С другой стороны, из граничных условий для вектора следует, что P_n = Pcosf = s¢. Следовательно, напряженность электрического поля в центре диска

.

При решении задачи использовалась система координат с осью Ох, совпадающей по направлению с вектором . Обобщением полученного результата является выражение .