Занятие № 21. Методы прогноза и коррекции
Под названием методы прогноза и коррекции (иначе методы предсказания и уточнения, предиктор-корректорные методы) понимается совместное применение явных и неявных методов одинакового или смежных порядков. По явной формуле значение решения у(х) задачи (1)-(2) в текущей (расчетной) точке хi+1 прогнозируется, т.е. находится его, быть может, достаточно грубое приближение, а с помощью неявной формулы, в правую часть которой подставляется спрогнозированное значение, оно уточняется (корректируется). Пример приближенного вычисления у(хi+1) по такой явно-неявной схеме у нас уже есть: парное использование явного метода Эйлера для предсказания и метода трапеций для уточнения (17).
Остановимся подробнее на методах прогноза и коррекции, базирующихся на парах явных и неявных методов Адамса одинакового порядка. Обозначим через приближенное значение решения y(xi+1), подсчитываемое по явной экстраполяционной формуле Адамса-Башфорта, и составим несколько пар из рассмотренных в предыдущем параграфе частных формул Адамса-Башфорта (11), (12), (13), (14) и Адамса-Моултона (17), (18), (19), (20).
Имеем следующие предиктор-корректорные методы Адамса:
первого порядка (он же явно-неявный метод Эйлера)
Второго порядка
Третьего порядка
Четвертого порядка
(21)
Одним из главных достоинств методов прогноза и коррекции является возможность контролировать шаговую погрешность сравнением двух полученных по явной и неявной формулам приближений к y(xi+1 ). Покажем, как реализуется эта возможность для наиболее употребительного предиктор-корректорного метода Адамса четвертого порядка (21).
Вспомним, что первая из формул (21) была получена из общей формулы Адамса-Башфорта (10), а вторая — из общей формулы Адамса-Моултона (16), в которых последними брались разности третьего порядка (подынтегральная функция в равенстве (3) аппроксимировалась интерполяционным многочленом третьей степени). Считая, что расчетный шаг h достаточно мал и конечные разности с ростом их порядка убывают, главные части шаговых погрешностей формул Башфорта и Моултона четвертого порядка, в соответствии с (10) и (16), характеризуются величинами для явной и
для неявной формул. Таким образом, если наряду с введенным обозначением
обозначить через
приближенное значение у(хi+1), получаемое по формуле Адамса-Моултона четвертого порядка, то можно записать два приближенных представления y(xi+1):
(22)
и
(23)
Отсюда видно, что если четвертые разности функции f(x, у(х)) в используемой части табл. 1 конечных разностей практически постоянны ( а это можно связать с удачным выбором величины шага h при достаточном запасе знаков в значениях f(xj,yj)), то во-первых, значения и
дают двусторонние приближения к точному решению y(xi+1), а во-вторых, через разность между значениями
и
можно оценить точность каждого из них.
Действительно, приравнивая правые части приближенных равенств (22) и (23) и отождествляя имеем:
откуда
Подставляя последнее в (23), получаем приближенное равенство
(24)
Использование приближенной формулы (24) может быть двояким. Переписав ее в виде
применяем это для пошагового контроля точности:
если то полагаем
с точностью ε и переходим к следующему шагу (i:=i+1), иначе уменьшаем шаг h и снова подсчитываем
Другое назначение формулы (24) — это прямое применение ее правой части для получения уточненного значения: полагаем
(25)
Наверное, есть смысл контроль точности делать на каждом шаге, а к уточнению по формуле (25) прибегать при выводе окончательных результатов.
Замечание 1. При выводе формулы (24) под мы понимаем значение, соответствующее «чистому» методу Адамса-Моултона четвертого порядка, т.е.
— это точная реализация неявной формулы (20). Вторая же формула предиктор-корректорного метода (21) соответствует лишь одному приближению к
по методу простых итераций, где в качестве начального приближения берется
. Поэтому применения формулы (24) к методу прогноза и коррекции (21) будут убедительны в том случае, если его вторая формула итерируется хотя бы один-два раза. Однако, чем больше таких итераций, тем ниже вычислительная эффективность этого метода, в целом весьма высокая по сравнению с многоэтапными методами Рунге-Кутты.