Непрерывные случайные величины. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

Задача 14

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.

Решение задач.

1. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

Требуется найти коэффициент а, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .

Решение:

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .

2 .Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .

Решение:

Найдем коэффициент А.

Найдем функцию распределения:

1) На участке :

2) На участке

3) На участке

Итого:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .

Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:

Вариант 1

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова ВАЛЕТ ?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?

1. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 125367266?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?

1. Из букв слова ПРОГУЛКА составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?
   
   
2. Решить уравнение

5.

На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. В ящике содержится 10 деталей, среди которых 3 нестандартные. Определить вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется а) ровно две нестандартные; б) не более двух нестандартных.

1. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в круг, попадет в данный треугольник.

1. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водите­лей по 3 классам: класс Н₁ (мало рискует), класс H₂ (рискует средне), класс H₃ (рискует сильно). Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших автомобили, 30% принадлежат к классу 50% — к классу H₂ и 20% — к классу H₃. Вероятность того, что в течение года водитель класса Н₁ попадет хотя бы в одну аварию, равна 0,01, для водителя класса H₂ эта вероятность равна 0,02, а для водителя класса H₃ — 0,08. Водитель А страхует свою машину и в течение года попадает в аварию. Како­ва вероятность того, что он относится к классу H1?
2. Транзисторный радиоприемник смонтирован на 9 полупроводниках, для которых вероятность брака равна 0,05. приемник отказывает при наличии не менее двух бракованных полупроводников. Найти вероятность того, что: а) откажут ровно 5 полупроводников; б) приемник будет работать; в) приемник откажет.

1. Фарфоровый завод отправил на базу 10000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что на базу придут ровно 3 негодных изделия.

1. Известно, что левши составляют примерно 1% . оценить вероятность того, что среди 500 человек окажется а) четверо левшей; б) левшей не менее 80 , но не более 150 человек.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi
pi	0,4	0,3	0,1	*

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=2X+Y; б)U=XY.
   
   

xi	-1
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

yi	-2
pi	0,1	0,2	0,1	0,6

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения F(x) и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (9,15; 10,4) . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 2

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова БОЧКА ?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?

1. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 245752235?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?

1. Из букв слова ПРОСЬБА составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?
2. Решить уравнение

На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. Среди десяти билетов выигрышными являются четыре. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов окажется а)три выигрышных; б) не более трех выигрышных
2. На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной а, случайно брошена монета радиуса r. Найдите вероятность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников.

1. В студенческом стройотряде 3 бригады первокурсников и одна — второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 6 юношей и 4 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город, а) Какова вероят­ность того, что выбран юноша? б) Выбранный человек оказался юношей. Какова вероятность, что он первокурсник?
2. Радиоэлектронный комплекс самолета-бомбардировщика включает в себя 10 объектов. Вероятность работы каждого объекта равна 0,9. Объекты выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что : а) откажет хотя бы один объект; б) откажут ровно два объекта; в) откажут не менее двух объектов.
3. Радиоэлектронный комплекс самолета-бомбардировщика включает в себя 10 объектов. Вероятность работы каждого объекта равна 0,9. Объекты выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что : а) откажет хотя бы один объект; б) откажут ровно два объекта; в) откажут не менее двух объектов.

1. Полагая, что вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6, найти вероятность того, что а) при 200 выстрелах мишень окажется поражена 110 раз; б) мишень будет поражена от 60 до 140 раз.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi	-1
pi	0,4	0,2	0,1	*

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=X+2Y; б)U=XY.
   
   

xi	-2	-1
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

yi	-2
pi	0,1	0,2	0,1	0,6

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения F(x)и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0: 5) . Постройте графики функций распределения и плотности распределения

Вариант 3

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова АЛЬБОМ?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?

1. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 345642353 ?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?

1. Из букв слова ПРОСТЫНЯ составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?

1. Решить уравнение

На рисунке приведены схемы электрических цепей. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. В букете, состоящем из 9 цветов 4 красных цветка, остальные синие. Наудачу берется 5 цветов. Определить вероятность того, что красных цветов среди них будет а) ровно 2 штуки; б) не более двух.

7. Точка (c, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Найдите вероятность того, что корни уравнения х² +сх + q = 0 окажутся действительными и одного знака.

1. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. а)Найдите вероятность того, что взят белый шар.б) Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность, что он взят из первой урны?
2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в июле в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из восьми случайно выбранных в этом месяце дней а ) ровно три окажутся дождливыми; б) дождливыми окажутся хотя бы два дня; в) дождливыми будут не более 7 дней?
3. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Найдите вероятность того, что за время t откажут ровно 3 элемента.

1. Вероятность того, что станок-автомат произведет годную деталь, равна 9/11. за смену было изготовлено 330 деталей. Определить вероятность того, что среди них а) 40 бракованных; б) бракованных деталей не более 40, но не менее 2.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi
pi	0,3	0,2	0,1	*

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=3X+Y; б)U=XY.
   
   

xi
pi	0,1	0,1	0,3	0,5

yi	-2
pi	0,1	0,2	0,1	0,6

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 4

1. Сколько перестановок можно получить из букв слова ТЕСАК ?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?

1. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 768987864?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?

1. Из букв слова ПРОЕКЦИЯ составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?
2. Решить уравнение

На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. В студенческой группе 15 человек, из которых 5 девушек, а остальные – юноши. Деканат дал студентам этой группы 5 билетов на концерт группы «Тылобурдо». Найти вероятность, что а)3 билета достанутся девушкам; б) не менее трех билетов достанутся девушкам.

7. Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х² £ 4у £ 4х.

1. 70% учащихся в Ижгту — юноши. 80% девушек и 60% юношей имеют билеты на КВН. В деканат принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что этот билет при­надлежал девушке? Юноше?
2. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность, что станок потребует внимания рабочего в течение промежутка времени Т, равна 1/3. Найти вероятность того, что за время Т а) 4 станка потребуют внимания рабочего; б) менее 4-х станков .потребуют внимания рабочего; в) хотя бы 4 станка потребуют внимания рабочего.

1. Вероятность нарушения герметичности банки в некоторой партии консервных банок равна 0,0004. Вычислите вероятность того, что среди 2000 банок окажутся с нарушением герметичности не более 3.
2. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК равна р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных а) ровно 60; б) от 70 до 100.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi	-1
pi	*	0,2	0,1	0,3

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=X+3Y; б)U=XY.
   
   

xi	-4
pi	0,2	0,1	0,2	0,5

yi	-1
pi	0,2	0,2	0,5	0,1

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 5

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова САМОЛЕТ ?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?

1. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 465768756?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?

1. Из букв слова ПРОГУЛКА составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?

1. Решить уравнение

5.

На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. У Малыша в кульке лежали 12 конфет: 5 карамелек и 7 шоколадных. Карлсон не глядя запустил в кулек руку и достал 8 конфет. Найти вероятность того, что у Карлсона в руке оказалось а) 6 шоколадных конфет и 2 карамельки; б) карамелек оказалось не более 2.

7. Найдите вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел из отрезка [-1,1] больше нуля, а их произведение отрицательно

1. Бросается монета, и если она падает так, что сверху ока­зывается герб, вынимаем один шар из урны I; в противном случае — из урны II. Урна I содержит 4 красных и 1 белый шар. Урна II содержит 1 красный и 3 белых шара, а) Какова вероятность того, что вынутый шар красный? б) Какова вероятность того, что шар вынимался из I урны, если он оказался красным?
2. Китайский завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью 1/3 оказывается дефектным. Для контроля продукции выбирается 6 изделий. Найти вероятность того, что а) ни в одном изделии не будет дефекта; б) не менее чем в двух изделий будет обнаружен дефект; в) ровно в трех изделиях будет дефект.
3. Вероятность появления брака при автоматической обработке деталей равна 0,003. Найдите вероятность того, что среди 1000 деталей только 4 детали будут бракованными.

1. Вероятность выхода конденсатора из строя в течение времени t равна 0,25. Вычислите вероятность того, что за этот промежуток времени из имеющихся 150 конденсаторов выйдет из строя а) ровно 60 конденсаторов; б) от 40 до 80 конденсаторов.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi
pi	0,1	0,3	0,1	*

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=X-2Y; б)U=XY.
   
   

xi	-1
pi	0,4	0,1	0,3	0,2

yi	-2
pi	0,1	0,3	0,1	0,5

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (2; 5) . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 6

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова СВЁРТОК ?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?
   
   
2. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 475674658?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?
   
   
3. Из букв слова ПРИМОЧКА составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?
   
   
4. Решить уравнение .

5.

На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. Из 10 студентов 6 имеют спортивные разряды. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу 5 студентов спортивный разряд имеют а)3 человека; б) менее трех человек.

7. На отрезок АВ длиной 12 см наугад ставят точку М. Найдите вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ, будет заключена между 36 см² и 81 см².

1. На радиозаводе машина А производит 40% всех радиостанций, а машина В — 60%. В среднем 9 единиц из 1000 еди­ниц продукции, произведенных машиной А, оказывается браком, а у машины В — брак 2 единицы из 500. Некоторая радиостанция, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине В?
2. Баскетболист делает 5 бросков мячом в корзину. Вероятность попадания мяча при каждом броске одинакова и равна 0,4. найти вероятность того, что а) баскетболист ровно 4 раза попадет мячом в корзину; б) попаданий в корзину будет менее четырех; в) попаданий мячом будет не более 5.
3. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найдите вероятность попадания в цель двумя и более выстрелами при залпе в 5000 выстрелов.

1. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найдите вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 700 до 820 годных.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi
pi	0,2	0,3	*	0,1

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=X-Y; б)U=XY.
   
   

xi	-4
pi	0,2	0,1	0,2	0,5

yi	-1
pi	0,2	0,2	0,5	0,1

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал ( ) . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 7

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова ТЕРМОС?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?
   
   
2. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 384576985?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?
   
   
3. Из букв слова ПРИРОСТ составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?
   
   
4. Решить уравнение .

5.

На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. В лотерее «Спортлото 6 из 30» участник лотереи, правильно угадавший 4, 5 или 6 видов спорта из 30 , получает денежный приз. Найти вероятность того, что данный участник угадает а) 5 видов спорта; б) получит денежный приз.
2. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше двух, не превзойдет двух, а их произведение будет не больше 2/5 ?

1. В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего — 0,7, для посредственного — 0,5. Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный стрелок попадет в цель; б) 2 наудачу вы­бранных стрелка попадут в цель.в) Цель поражена. Найти вероятность, что ее поразил хороший стрелок
2. Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 отобранных коконов а) цветных будет 3 кокона; б) цветных коконов будет не менее семи; в) цветных коконов будет не более 8.
3. На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.

1. Вероятность случайным образом отобранному изделию оказаться стандартным равна 0,8. Найдите вероятность того, что среди 225 взятых наугад изделий а) 180 окажутся стандартными; б) Стандартными окажутся от 155 до 200 изделий.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi
pi	0,2	0,3	*	0,1

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=-2X+Y; б)U=XY.
   
   

xi	-1
pi	0,4	0,1	0,3	0,2

yi	-2
pi	0,1	0,3	0,1	0,5

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0,3 ; 1,4) . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 8

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова ТАНЕЦ?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?
   
   
2. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа374694634 ?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?
   
   
3. Из букв слова ПРОБКА составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?
   
   
4. Решить уравнение

5.	На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .
6.

В аудитории находятся 25 студентов. 10 из них изучают английский язык, а остальные 15 – французский. Случайным образом для уборки территории отбираются 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них а) ровно 3 изучают английский язык; б) студентов изучающих французский больше.

1. Точка (c, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Найдите вероятность того, что корни уравнения х² +сх + q = 0 окажутся действительными и разных знаков?

1. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водите­лей по 3 классам: класс Н₁ (мало рискует), класс H₂ (рискует средне), класс H₃ (рискует сильно). Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших автомобили, 30% принадлежат к классу 50% — к классу H₂ и 20% — к классу H₃. Вероятность того, что в течение года водитель класса Н₁ попадет хотя бы в одну аварию, равна 0,01, для водителя класса H₂ эта вероятность равна 0,02, а для водителя класса H₃ — 0,08. Водитель А страхует свою машину и в течение года попадает в аварию. Како­ва вероятность того, что он относится к классу H₂?
2. По каналу связи передается 8 сообщений. Каждое из них независимо от других с вероятностью 0,2 искажается помехами. Найти вероятности следующих событий: а) из 8 событий ровно 5 искажаются помехами; б) искажаются помехами не более половины всех передаваемых сообщений; в) помехами искажается более 6 сообщений.

1. Найдите вероятность того, что среди 200 изделий окажется ровно три бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

1. В цехе имеется 80 станков, работающих независимо друг от друга. Для каждого станка вероятность быть включенным равна 0,9. Вычислите вероятность того, что в некоторый момент времени включенными окажутся а) ровно 50 станков; б) от 60 до 75 станков.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi
pi	0,3	0,3	0,1	*

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=X-2Y; б)U=XY.
   
   

xi	-3
pi	0,1	0,1	0,3	0,5

yi	-1
pi	0,1	0,2	0,1	0,6

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 9

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова КУЛЕБЯКА?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?
   
   
2. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 475638575 ?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?
   
   
3. Из букв слова ПРИМЕР составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?
   
   
4. Решить уравнение

5.

На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. В конкурсе мисс ИжГТУ участвовало 13 девушек. Среди них было 6 блондинок и 7 брюнеток. Первокурсник ИВТ факультета пригласил в кино их всех, но пришли только 5 девушек. Найти вероятность того, что первокурсник смотрел кино а) 5 блондинками ; б) двумя блондинками и тремя брюнетками.
2. Точка (c, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Найдите вероятность того, что корни уравнения х² +сх + q = 0 окажутся действительными положительными числами?

1. В каждой из 3 урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный затем из третьей урны, окажется белым.
2. Игральная кость подбрасывается 9 раз. Найти вероятность того, что а) шестерка выпадет 3 раза; б) шестерка выпадет более трех раз; в) шестерка выпадет не более семи раз.
3. Устройство состоит из 1600 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,001. Найдите вероятность того, что за время t 4 элемента.

1. Вероятность изготовления детали со стандартными размерами равна 0,7. Вычислите вероятность того, что среди 300 деталей стандартными будут от 200 до 250.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi
pi	*	0,3	0,2	0,1

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=X+3Y; б)U=XY.
   
   

xi	-1
pi	0,2	0,1	0,2	0,5

yi	-1
pi	0,2	0,2	0,5	0,1

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 10

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова БОЧКА?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?
   
   
2. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 274655733 ?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?
   
   
3. Из букв слова ПРИВОЛЬЕ составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?
   
   
4. Решить уравнение

5.

На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. У одной одинокой бабушки было 12 кошек. Среди которых были 5 короткошерстных и 7 длинношерстных. На 8 марта одинокая бабушка решила подарить 5 кошечек соседям. Выбирала она их случайным образом. Найти вероятность того, что среди подарочков а) ровно 4 кошки были длинношерстные; б) длинношерстных кошек было не менее четырех.
2. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше трех, не превзойдет трех, а их произведение будет не больше 2/7?

1. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго — 30%, с третьего — 20%, с четвертого — 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым — 1 %, третьим — 0,5% и четвертым — 0,2%. а)Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь небракованная. Известно, что поступившая на сборку деталь небракованная. Какова вероятность, что она выпущена третьим станком?
2. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет: а) три раза; б) не менее трех раз; в) более 7 раз.

1. Какова вероятность того, что среди 200 человек будет 6 левшей, если левши в среднем составляют 1%?

1. Вероятность, что рост человека находится в интервале от 164 до 174 равна 0,8. а) Найдите вероятность того, что среди встретившихся вам на улице 300 человек рост ровно 125 человек не будет находиться в интервале от 164 до 174.б) Найдите вероятность того, что среди встретившихся вам на улице 300 человек будут от 120 до 250 человек, чей рост находиться в интервале от 164 до 174.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi	-1
pi	0,2	0,2	0,1	*

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=2X+Y; б)U=XY

xi
pi	0,1	0,1	0,3	0,5

yi	-2
pi	0,1	0,2	0,1	0,6

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 11

1. А). Сколько перестановок можно получить из букв слова ДОСУГ ?
   Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов?
   
   
2. А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 586758475?
   Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов?
   
   
3. Из букв слова ПРИКЛАД составляются пятибуквенные слова.
   А).Сколько таких слов можно получить?
   Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
   В) А если слова содержат не менее 5 букв?
   
   
4. Решить уравнение

5.

На рисунке приведена схема электрической цепи. События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

1. В ящике содержится 10 деталей, среди которых 4 нестандартные. Определить вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется а) ровно две нестандартные; б) не более двух нестандартных.
2. На отрезке длиной а наудачу ставится 2 точки, в результате чего отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что из трех получившихся частей отрезка можно построить треугольник.

1. Из 5 стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 3 — с вероятностью 0,4. а) Что вероятнее: попадет в цель наудачу вы­бранный стрелок или нет? б) Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым двум или к трем последним?
2. Транзисторный радиоприемник смонтирован на 10 полупроводниках, для которых вероятность брака равна 1/4. приемник отказывает при наличии не менее трех бракованных полупроводников. Найти вероятность того, что: а) откажут ровно 4 полупроводника; б) приемник будет работать; в) приемник откажет.

1. Устройство состоит из 1500 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа каждого из них в течение времени t равна 0,0017. Найдите вероятность того, что за время t откажут от 2 до 4 элементов.

1. Из большой партии продукции, содержащей 70% изделий первого сорта, наугад отбирают 100 изделий. Вычислите вероятность того, что среди отобранных будет а) ровно 80 изделий 1 сорта; б) не менее 50 и не более 90 изделий первого сорта.

1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
   а)Найти значение *;
   б) изобразить полигон распределения;
   в) найти и изобразить графически функцию распределения;
   г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
   [3,5; 7,5);
   д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
   е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
   ж) найти дисперсию случайной величины Х;
   
   

xi	-1
pi	0,4	*	0,1	0,15

1. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
   Найти закон распределения случайных величин а )Z=X-4Y; б)U=XY

xi	-4
pi	0,2	0,1	0,2	0,5

yi	-1
pi	0,2	0,2	0,5	0,1

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

Найдите: 1) функцию распределения и необходимые константы; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Постройте графики функций распределения и плотности распределения .

Вариант 12