Предельные теоремы теории вероятностей

Математическая статистика изучает массовые явления. В основе ее лежат предельные теоремы теории вероятностей. Эти теоремы рассматривают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин, когда проводится большое число испытаний. «Законом больших чисел» называется группа теорем, которая доказывает, что в этом случае среднее значение перестает быть случайным результатом и может быть предсказано с достаточной точностью. «Центральная предельная теорема», названная так в силу особой важности, определяет условия, при которых закон распределения суммы случайных величин приближается к нормальному.

Неравенство Чебышева

Приведем рассуждение, впервые проведенное в XIX веке Чебышевым. Для чего запишем дисперсию случайной величины

Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru .

Пусть a – любое положительное число. Оставим в написанной сумме только те члены, для которых Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru , одновременно заменив множители Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru на меньшую величину Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru . Получим неравенство

Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru .

Правая часть неравенства представляет собой сумму вероятностей тех значений xi, которые отстоят от Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru в ту или другую сторону больше, чем на a. А вся сумма (по правилу сложения вероятностей) есть вероятность того, что величина Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru получит какое-либо одно из этих значений. Это фактически означает, что полученное отклонение окажется больше, чем Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru . Таким образом

Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru .

Это неравенство Чебышева позволяет рассчитать вероятность отклонений случайной величины от ее среднего значения (в ту или другую сторону ) больших, чем любое заданное число Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru . Такая оценка, хотя и грубая, может быть использована практически.

Например, используя неравенство, можно оценить вероятность того, что отклонение случайной величины Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru от своего математического ожидания будет меньше Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru , т.е. меньше трех среднеквадратических отклонений (правило трех сигм). Действительно, так как Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru , то, записав неравенство Чебышева в несколько иной форме, получим

Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru .

Пример 26. Проводится 900 независимых испытаний некоторого события, вероятность наступления которого в каждом испытании равно 0,3. Оценить вероятность того, что число появлений этого события находится в пределах от 240 до 300. Использовать неравенство Чебышева.

Решение.

Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru

Теорема Чебышева

Эта теорема относится к фундаментальным результатам теории вероятностей и содержит основное утверждение закона больших чисел. Закон открыт великим русским математиком в середине XIX века.

Предположим, проведено большое количество независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых наблюдается случайная величина одной и той же природы. С точки зрения математики наблюдается последовательность независимых случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru . Тогда при условии существования такого числа С>0, что Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru , для любого Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru будет выполняться сходимость по вероятности.

Заметим, что случайные величины Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru можно рассматривать не только как значения наблюдаемой величины x в соответствующих независимых испытаниях, но и как независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение и такое же как у x. Применяя обратное неравенство Чебышева к среднему Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru , будем иметь

Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru (5)

Переходя к пределу при Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru , получим закон больших чисел в форме П.Л. Чебышева:

Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru

Если случайные величины Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru имеют одинаковое распределение, то их математические ожидания и дисперсии одинаковы: Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru , и в этом частном случае

Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru

То есть, среднее арифметическое всех значений случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru , полученных в результате достаточно большого числа испытаний, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, приближается к неслучайному числу Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru (в частном случае равном a). Другими словами, разброс среднего арифметического по абсолютной величине сколь угодно мал.

Таким образом, как отдельная случайная величина может принимать значения, далекие от ее среднего значения (иметь значительное рассеяние), среднее арифметическое большого числа случайных величин ведет себя совершенно иначе, так как с подавляющей вероятностью принимает лишь значения, очень близкие к ее среднему (мало рассеяна). Объясняется это тем, что отклонения случайных величин в ту и в другую стороны при взятии среднего арифметического взаимно уничтожаются и суммарное отклонение оказывается малым в большинстве случаев.

Практическое применение теоремы Чебышева состоит в том, что о качестве большого количества однородного материала можно судить по сравнительно небольшой пробе (выборке). Суждения, сделанные по выборке, обладают большой точностью. Так, по небольшому объему зерна (в сравнении со всей партией) согласно закону больших чисел можно достаточно точно судить о среднем весе одного зерна и, следовательно, о качестве всей партии зерна.

Пример 27. Для случайной величины X известна дисперсия Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru . Математическое ожидание (a) неизвестно. Полученное в 100 независимых испытаниях среднее значение этой случайной величины ( Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru ), принимают за ее математическое ожидание. Определить с вероятностью не менее 0,8 допускаемую при этом максимальную ошибку.

Решение. В задаче требуется найти ошибку ε из неравенства Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru . Используя формулу (5), получим Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru Учитывая, что n=100, найдем Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru и Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru

Центральная предельная теорема

Это второе важнейшее положение теории вероятностей, называемое также теоремой Ляпунова. Выдающийся русский математик объяснил, почему на практике чаще всего встречаются нормально распределенные величины. Дело в том, что явления, исход которых зависит от случая, подвержены воздействию огромного количества случайных величин. Если эти действия выражаются случайными величинами Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru то их суммарное влияние на явление можно выразить суммой Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru Теорема утверждает, что если действующие причины взаимно независимы, их число очень велико и каждая из них ничтожно мало влияет на явление по сравнению с суммарным их действием, то закон распределения суммы в Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru лишь незначительно может отличаться от нормального закона распределения.

Практическое значение теоремы обусловлено тем, что многие случайные величины (такие как ошибки различных измерений, валютные курсы, объемы прибыли от реализации однородного товара и другие) можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например, рассеяние снарядов при стрельбе из орудия будет подчиняться нормальному закону, поскольку является результатом воздействия огромного числа факторов: ничтожные изменения в состояниях атмосферы, колебания количества взрывчатого вещества и в форме различных снарядов, незаметные для глаза ошибки в наводке орудия и многие другие. Эти факторы независимы и влияние каждого на траекторию заряда ничтожно мало.

На практике (ситуация характерна для математической статистики) чаще всего используется частный случай теоремы, когда члены суммы Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru имеют одинаковое распределение Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих величин Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru стремиться при Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru к функции распределения стандартной нормальной случайной величины

Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru

Это означает, что Предельные теоремы теории вероятностей - student2.ru

Следствием центральной предельной теоремы являются локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Наши рекомендации