Алгебралық және трансцендент теңдеулерді сандық шешу. Графиктік әдіс

Айталық

(1)

теңдеуінің түбірлерін анықтау керек, мұнда - қандай да бір ақырлы немесе ақырсыз аралығында анықталған және үзіліссіз функция.

Анықтама 1. фунқциясын нөлге айналдыратын, қандай да бір x мәні (1) теңдеудің түбірі деп аталады.

Анықтама 2. f(x) функциясының анықталу облысына тиісті (1) теңдеудің тек бір ғана түбірі жататын аралықтарын анықтау теңдеудің түбірлерін жекешелеу деп аталады.

Анықтама 3. Түбірлерді жекешелеу кезінде анықталған аралықтағы теңдеудің түбірі үшін қабылданған бастапқы жуықтауды e дәлдіктің дәрежесіне дейін жеткізуді түбірді дәлдеу деп атайды.

(1) теңдеудің тек бір түбірі жатқан кіші аралықты анықтау үшін математикалық талдау курсынан келесі теорема колданылады.

Теорема. Егер аралығында анықталған, әрі үзіліссіз фунқциясы және нүктелерінде қарама - қарсы таңбалы мәндерді қабылдаса, яғни

(2)

теңсіздігі орындалса, онда осы аралықта (1) теңдеуінің кем дегенде бір түбірі болады.

Ал егер осындай функциясының туындысы бар болып және ол осы аралығында таңбасын өзгертпесе, онда аралығында (1) теңдеудің жалғыз түбірі болады.

(1)-ші теңдеудің нақты түбірлері қайсысының Ох осімен қиылысқан нүктелерінің абсциссалары болғандықтан түбірлерді жекешелеуді графиктік әдіспен анықтасақ болады.

Графиктік әдісінің алгоритмі:

1) (1) теңдеуді өзімен пара-пар теңдеумен алмастыруға болады

мұндағы – функциялары функциясына қараған-да қарапайым фунқциялар болуы тиіс;

2) және функцияларының графиктерін саламыз;

3) осы графиктердің қиылысу нүктелерінің абсциссаларын анықтаймыз;

4) Егер табылған абсциссалар мәндері (2) теңсіздікті қанағаттандырса, онда осы графиктердің қиылысу нүктелерінің абсциссалары берілген теңдеудің ізделінді түбірлері болып табылады. Егер (2) теңсіздік орындалмаса, онда 3-ші пунктке ораламыз.