Правило дифференцирования сложной функции

Следующая теорема даёт правило дифференцирования сложной функции.

Теорема 6.2.Если функция х = φ(t) имеет производную в точке t₀, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке х₀ = φ(t₀), то сложная функция f(φ(t)) имеет производную в точке t₀, причём имеет место следующая формула

у'(t₀) = f '(x₀) × φ'(t₀).

Пример 6.4.Вычислить у', если у = .

Решение. Данную функцию можно представить в виде у = , где . Тогда по теореме 6.2 у'( ) = у'( ) × '( ) = ( )' × ( )' = = × = × .

Замечание 6.1. В теореме 6.2 мы рассмотрели сложную функцию, где у зависит от переменной t через одну промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость – с несколькими промежуточными переменными. При этом правило дифференцирования остаётся прежним.

Пример 6.5.Вычислить производную функцию у = tg²( ²+1).

Решение. Данную функцию можно представить в виде у = ², = tg , = ²+1. Тогда

у'( ) = у '( ) × '( ) × '( ) = ( ²)' × (tg )' × ( ²+1)' = = tg .

Мы уже отмечали, что производная f '(х) функции у = f(x) сама является функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

6.4 Производная n-го порядка

Определение 6.4.Назовём f '(х) производной первого порядкафункции у = f(x), дифференцируемой на некотором промежутке ( ). Производная от f '(х) называется производной второго порядкафункции у = f(x) и обозначается f ''(x). Производная от f ''(x) называется производной третьего порядка, обозначается f '''(x). Таким образом определяется производная n-го порядка для любого натурального n. Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются: у'', у''', у⁽⁴⁾, у⁽⁵⁾,…, у⁽ⁿ⁾,… . Итак, по определению

у⁽ⁿ⁾ = (у^{(n – 1)})' , n = 2, 3, … .

Пример 6.6.Вычислить производную третьего порядка функции у = .

Решение.1) у' = ;

2) у'' = (у')' =

= ;

3) у''' = (у'')' = ( )' = = .

Определение 6.5.Пусть функция у = f (x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка. Дифференциал dy = f '(x)dx называется дифференциалом первого порядкафункции у = f(x). Дифференциалы высших порядков(второго, третьего и т. д.) определяются следующей формулой

dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ, n = 2, 3,… .

Пример 6.7.Вычислить дифференциал d²y, где у = х⁴ − 3х² + 4.

Решение.1) dy = (х⁴ − 3х² + 4)'dx = (4х³ – 6х)dx;

2) d²y = (4x³ – 6x)'(dx) = (12x² – 6)(dx)².

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте определение производной.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. Какая функция называется дифференцированной в точке?

4. Что называют дифференциалом функции?

5. Сформулируйте основные правила дифференцирования функции.

6. По какому правилу находится дифференцирование сложной функции?

7. Как находятся производные и дифференциал высших порядков?

Основные теоремы дифференциального исчисления

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Теорема 7.1.Пусть функция f(x) определена ( ) и в некоторой точке х₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х₀ существует производная, то она равна нулю, т. е. f ¢(x) = 0.

Доказательство.Пусть для определённости в точке х₀ функция f (x) имеет наибольшее значение, т. е. для любого х Î ( ) выполняется неравенство f (x) £ f (x₀). Это означает, что ∆у = f (x₀ + ∆x) – f (x₀) £ 0 для любого приращения аргумента ∆х. Возможны два случая:

1) ∆х > 0. Тогда £ 0 и, следовательно,

= £ 0;

2) ∆х < 0. Тогда ³ 0 и, следовательно,

= ³ 0.

По условию, f ¢(x) существует, поэтому существует . Но тогда существуют односторонние пределы и , причём

0 £ = = £ 0.

Всё это возможно только при = 0, т. е. при f ¢(x) = 0.

Аналогично рассматривается случай, когда в точке х₀ функция f (x) имеет наименьшее значение.

Теорема Ролля

Теорема 7.2.Пусть на [ ] определена функция f (x), причём: 1) f (x) непрерывна на [ ]; 2) f (x) дифференцируема на ( ); 3) f ( ) = f ( ). Тогда существует точка Î( ), в которой f ¢( ) = 0.

Доказательство.Так как функция f (x) непрерывна на [ ], то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m, т. е. существуют такие точки х₁, х₂ Î [ ], в которых f (x₁) = m, f (x₂) = M и выполняются неравенства

m £ f (x) £ M для всех х Î [ ].

Возможны два случая:

1) M = m. Тогда f (x) = const = M = m. В этом случае для любого х Î ( ) имеем f '(x) = 0. Теорема верна;

2) m < M. Так как f ( ) = f ( ), то хотя бы одно значение m или М достигается на ( ), т. е. существует Î ( ) такая, что f ( ) = m или f ( ) = M. Поскольку f (x) дифференцируема в точке , то по теореме Ферма f '( ) = 0.

Теорема Лагранжа

Теорема 7.3.Пусть на отрезке [ ] определена функция f (x), причём 1) f (x) непрерывна на [ ]; 2) f (x) дифференцируема на ( ). Тогда существует точка Î ( ) такая, что справедлива формула

.

Доказательство.Введём в рассмотрение на [ ] вспомогательную функцию

F(x) = f (x) – f ( ) − × (x − ).

Функция F(x) удовлетворяют всем трём условиям теоремы Ролля:

1) F(x) непрерывна на [ ] как разность двух непрерывных функций f (x) и линейной функции

f ( ) + × (x − );

2) F(x) дифференцируема на ( ). Действительно, f (x) дифференцируема на ( ) по условию, поэтому производная F '(x) = f '(x) − существует на ( );

3) F( ) = 0; F( ) = 0, т. е. F( ) = F( ).

Тогда по теореме Ролля существует точка Î ( ) такая, что F '( ) = 0, т. е.

f '( ) = .

Равенство f ( ) – f ( ) = f '( )( ) называется формулой Лагранжаили формулой конечных приращений.

Теорема Коши

Теорема 7.4.Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [ ] и дифференцируемы на ( ). Пусть, кроме того, g'(x) ≠ 0. Тогда на ( ) существует точка такая, что справедлива формула

(7.1)

Доказательство.Прежде всего отметим, что g( ) ≠ g( ), т. е. формула (7.1) имеет смысл. Если предположить, что g( ) = g( ), то по теореме Ролля для функции g(x) на ( ) найдётся точка h такая, что g'(h) = 0. Это противоречит условию g'(x) ≠ 0 на ( ).

Рассмотрим на [ ] вспомогательную функцию

F '(x) = f '(x) − × g'(x), то f '( ) − × g'( ) = 0,

откуда, учитывая g'( ) ≠ 0, получим

Формула (7.1) называется формулой Кошиили обобщённой формулой конечных приращений.

Замечание 7.1. Если в формуле Коши взять функцию g(x) = x, то получим формулу Лагранжа.

Снова вернёмся к вопросу раскрытия неопределённостей. Познакомимся с простым и эффективным методом раскрытия неопределённостей, который называется правилом Лопиталя–Бернулли. Основано это правило на следующей теореме.

7.2 Правило Лопиталя–Бернулли

Теорема 7.5.Пусть функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы на некотором интервале ( ), содержащем точку х₀, за исключением, быть может, самой точки х₀. Пусть, далее, f (x) = g(x) = 0 и g'(x) ≠ 0 на ( ). Тогда, если существует , причём

=

Пример 7.1.Найти .

Решение.Функции f (x) = и g(x) = определены и дифференцируемы на ( ), причём f (x) = g(x) = 0. Предел отношения производных этих функций существует:

=

причём g'(x) = ≠ 0 для х Î ( ). Теперь по теореме Лопиталя–Бернулли существует ­­­­_­ , причём

= =

Замечание 7.2.Теорема Лопиталя–Бернулли позволяет раскрывать неопределённости

Замечание 7.3.Обычно при вычислении пределов записывают только необходимые преобразования, а проверку выполнения условий теоремы Лопиталя–Бернулли делают по ходу вычислений. Если при этом окажется, что отношение производных снова представляет неопределённость , то правило Лопиталя–Бернулли применяют повторно.

Пример 7.2.

=

Замечание 7.4.Теорема Лопиталя–Бернулли остаётся верной и в случае, когда х → ∞, х → +∞, х → −∞.

Пример 7.3.

−

Замечание 7.5. Если в теореме Лопиталя–Бернулли заменить требование

f (x) = g(x) = 0 на условие f (x) = g(x) = ∞,

то теорема остаётся верной. В такой формулировке правило Лопиталя-Бернулли позволяет раскрывать неопределённости вида

Пример 7.4.Найти .

Решение. = = =…= =

=

Замечание 7.6.Неопределённости вида 0 × ∞ и ∞ − ∞ можно свести к неопределённостям вида и , а затем раскрыть с помощью правила Лопиталя–Бернулли.

Пример 7.5.Найти предел .

Решение. ( ) = (0 × ∞) = =

Пример 7.6. (∞ − ∞)=

Замечание 7.7.Неопределённости вида 0⁰, 1^∞, ∞⁰ имеют место при рассмотрении функций у = f (x)^g(x). Эти неопределённости с помощью тождества

f (x)^g(x) = е^{g(x)ℓnf (x)}

сводятся к неопределённостям, которые рассмотрены выше.

Пример 7.7. (1^∞) = = = = = = =

Пример 7.8. = (∞⁰) = = = = = =

Замечание 7.8.Однако правило Лопиталя–Бернулли не всегда применимо.

Пример 7.9.Найти .

Решение.Имеем неопределённость вида . Однако правило Лопиталя–Бернулли применить здесь нельзя, т. к.

= не существует.

В таких случаях ищут методы раскрытия неопределённостей без правила Лопиталя–Бернулли.

= = 1+ = 1.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте основные теоремы дифференциального исчисления.

2. В чем заключается теорема Ферма?

3. Каким условиям должна удовлетворять функция f (x) на отрезке [ ],чтобы для нее была справедлива теорема Ролля?

4. Сформулируйте теорему Лагранжа.

5. В чем заключается теорема Коши?

6. Какие неопределенности раскрывает правило Лопиталя–Бернулли?

7. Сформулируйте правило Лопиталя–Бернулли.

Исследование функций