Линейный интеграл векторного поля
Линейный интеграл векторного поля – это криволинейный интеграл второго рода. Вводится он следующим образом. Пусть в области G задано векторное поле , и в этом поле определена гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая АВ. Разобьём кривую АВ на n частей точками деления
по направлению от А к В. Радиус-вектор точки
обозначим
. Вектор
. Выберем произвольно на каждой частичной дуге
точку
и вычислим значение поля
в них. Для всех
вычислим значения скалярного произведения
и составим сумму вида
.
Определение 6.Линейным интегралом векторного поля вдоль дуги АВ называется предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма
, если наибольшая из длин частичных дуг
стремится к нулю, а число элементарных дуг n неограниченно возрастает. Этот предел обозначают символом
. Т.е.
. (5)
При изменении ориентации кривой интеграл меняет знак:
.
Физический смысл выражения - это работа, произведённая силой
при перемещении материальной точки от А к В по контуру L.
Линейный интеграл векторного поля вдоль замкнутой кривой (контура L) называется циркуляцией поля по замкнутому контуру при заданном направлении обхода контура и обозначается символом
Ц (6)
(знак + обозначает, что контур обходится против часовой стрелки).
Пусть поле задано своими функциями-координатами: и
. Тогда
. (7)
В правой части выражения (7) - криволинейный интеграл второго рода.
Для плоского поля линейный интеграл вычисляется по формуле:
. (8)
Линейный интеграл векторного поля вычисляется по обычным правилам вычисления криволинейного интеграла второго рода, т.е. преобразовывается в определённый. Для этого все переменные под знаком интеграла выражают через одну переменную, используя уравнение той линии, вдоль которой производится интегрирование.
Если векторное поле задано в пространстве , а линия АВ задана параметрическими уравнениями
то
. (7.1)
Если линия АВ задана системой уравнений то
. (7.2)
Для плоского векторного поля и линии АВ, заданной параметрическими уравнениями
, криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
, (8.1)
где - значения параметра t, соответствующие начальной и конечной точкам пути интегрирования.
Для дуги АВ, заданной уравнением :
. (8.2)
Если линия АВ кусочно-гладкая, то следует воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла, разбив АВ на гладкие дуги.
Пример 10.Найти работу векторного поля при перемещении точки вдоль контура, состоящего из части кривой
от точки
до
и дуги эллипса
от точки
до
.
Решение.
Работа (см. (8)).
Т. к. контур состоит из двух частей, воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла: . Сведём оба интеграла к определённым по формулам (8.1) и (8.2).
Для вычисления интеграла по контуру ВС используем параметрическую форму записи уравнения эллипса.
.
Ответ: .
Пример 11.Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль части кривой Вивиани, заданной пересечением полусферы
и цилиндра
,
пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX.
Решение.
Воспользуемся формулой (7). Ц
.
Чтобы свести подынтегральное выражение к одной переменной, перейдём в цилиндрическую систему координат: . Т.к. точка перемещается по кривой
, то считаем параметром полярный угол
,
, и получаем следующие параметрические уравнения этой кривой:
. Тогда
.
Подставим полученные выражения в формулу для вычисления циркуляции:
Ц .
Учитывая свойства интегралов по симметричному интервалу от нечётных и чётных функций, получим: , и
Ц
.
Ответ: Ц= .
Формула Грина.
Для плоского векторного поля имеет место следующее утверждение.
Если функции и их частные производные
непрерывны в замкнутой области
Г, где Г – граница односвязной области G, то
- формула Грина. (10)
обозначает положительное направление обхода (против часовой стрелки).
Пример 12.Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля по контуру, состоящему из отрезков OA, OB и большей дуги окружности
, соединяющей точки A и B, если
,
,
.
Решение.
По формуле Грина: Ц
.
,
;
,
. Ц
.
Проверим ответ, вычислив циркуляцию непосредственно по контуру с помощью линейного интеграла: Ц .
.
.
.
Ответ: Ц .
Контрольное задание 5.
Вычислить линейные интегралы векторного поля:
1) по ломаной
.
2) по эллипсу а)
, б)
.
3) Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса, полученного от пересечения цилиндра
плоскостью
в направлении по часовой стрелке, если смотреть из точки (0;10;0).
4) Вычислить линейный интеграл векторного поля вдоль ломаной линии ABOC, где
,
,
,
.
5) Найти работу поля вдоль части линии пересечения цилиндров
и
от точки
через
до точки
.