Функция распределения случайной величины

Для непрерывных случайных величин применяют такую форму закона распределения, как функция распределения. Функция распределения случайной величины Х, называется функцией аргумента х, что случайная величина Х принимает любое значение меньшее х (Х<х) F(х)=Р(Х<х) F(х) - иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0<F(х)<1

2. если х12,то F(х1)>F(х2)

3. Функция распределения случайной величины - student2.ru

функция может быть изображена в виде графика. Для непрерывной величины это будет кривая изменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины - ступенчатая фигура со скачками.С помощью функции распределения легко находится вероятность попадания величины на участок от α до β

Р(α<х<β) рассмотрим 3 события

А - α<Х

В - α<Х<β

С - Х<β

С=А+В

Р(С)=Р(А)+Р(В)

Р(α<х<β)=Р(α)-Р(β)

9.Числовые характеристики дискретных случайных величин Модой (Мо)случайной величины х называется наиболее вероятное ее значение. Это определение строго относится к дискретным случайным величинам. Для непрерывной величины модой называется такое ее значение для которого ф-ция плотности распределения имеет максимальную величину. Медианой (Ме)случайной величины называется такое ее значение для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения. Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки в которой площадь под кривой распределяется пополам. Для дискретной случайной величины значение медианы зависит от того четное или нечетное значение случайной величины n=2k+1, то Ме=хк+1 (среднее по порядку значение) Если значение случайных величин четное, т.е n=2k, то Функция распределения случайной величины - student2.ru

Математическое ожидание случайной величины. Математическим ожиданием случайной величины х (M[x])называется средне взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают вероятности появления тех или иных значений. Для дискретной случайной величины

Функция распределения случайной величины - student2.ru

Для непрерывной

Функция распределения случайной величины - student2.ru

С механической точки зрения мат. Ожидание это абсцисса центра тяжести системы точек расположенных по одноименной оси. Размерность мат. Ожидания совпадает с размерностью самой случайной величины. Математическое ожидание случайной величины всегда больше наименьшего значения и меньше наибольшего

10.Непрерывная случайная величина. Дифференциальные и интегральные функции. Интегральная функцияF(x)=P(X < x) Геометрический смысл интегральной функции распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки x.

Свойства интегральной функции распределения: Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку [0;1]: .Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенной в интервале (a,b), равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале Функция распределения случайной величины - student2.ru Если все возможные значения x случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то Функция распределения случайной величины - student2.ru , если Функция распределения случайной величины - student2.ru Функция распределения случайной величины - student2.ru ,если Функция распределения случайной величины - student2.ru Функция распределения случайной величины - student2.ru

Для описания распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется дифференциальная функция распределения. Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции. Функция распределения случайной величины - student2.ru Интегральная функция распределения является первообразной для дифференциальной функции распределения. Тогда Функция распределения случайной величины - student2.ru Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b: Функция распределения случайной величины - student2.ru Геометрический смысл ДФР состоит в следующем: вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b Функция распределения случайной величины - student2.ru

Свойства дифференциальной функции распределения: Дифференциальная функция распределения неотрицательна. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то Функция распределения случайной величины - student2.ru Так как дифференциальная функция распределения равна f(x)=F’(x), то можно записать Функция распределения случайной величины - student2.ru (6.1) т. е. предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу к длине этого интервала (при ), равен значению дифференциальной функции распределения в точке x. Аналогичное (6.1) определение дается в механике для определения плотности массы в точке (если масса распределена вдоль оси X по закону F(x)), поэтому в теории вероятности для дифференциальной функции распределения f(x) часто используется термин "плотность вероятности в точке". На основании (6.1) запишем: Функция распределения случайной величины - student2.ru (6.2)Вероятностный смысл дифференциальной функции распределения на основании (6.2) таков: вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу приближенно равна произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала или (на графике) площади прямоугольника с основанием и высотой f(x). Дифференциальную функцию распределения часто называют законом распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

11.Численные характеристики непрерывных случайных величин Математическим ожиданием Функция распределения случайной величины - student2.ru Дисперсия Функция распределения случайной величины - student2.ru

12.Мода и медиана случайной величины Модой (Мо)случайной величины х называется наиболее вероятное ее значение. Это определение строго относится к дискретным случайным величинам. Для непрерывной величины модой называется такое ее значение для которого ф-ция плотности распределения имеет максимальную величину. Медианой (Ме)случайной величины называется такое ее значение для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения. Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки в которой площадь под кривой распределяется пополам. Для дискретной случайной величины значение медианы зависит от того четное или нечетное значение случайной величины n=2k+1, то Ме=хк+1 (среднее по порядку значение) Если значение случайных величин четное, т.е n=2k, то Функция распределения случайной величины - student2.ru 13.Равномерное распределение Закон равномерного распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется при имитационном моделировании сложных систем на ЭВМ как первоначальная основа для получения всех необходимых статистических моделей. При этом, если специально не оговорен закон распределения случайных чисел, то имеют ввиду равномерное распределение. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале (a,b), которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция распределения имеет постоянное значение, т. е. f(x) = C. Так как Функция распределения случайной величины - student2.ru то Функция распределения случайной величины - student2.ru Отсюда закон равномерного распределения аналитически можно записать так: Функция распределения случайной величины - student2.ru График дифференциальной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис. 6.5 Функция распределения случайной величины - student2.ru Рис. 6.5. Интегральную функцию равномерного распределения аналитически можно записать так: Функция распределения случайной величины - student2.ru График интегральной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис. 6.6 Функция распределения случайной величины - student2.ru

14.Биномиальное распределение.Биномиальным называют законы распределения случайной величины Х числа появления некоторого события в n опытах если вероятность р появления события в каждом опыте постоянна Функция распределения случайной величины - student2.ru

Сумма вероятностей представляют собой бином Ньютона Функция распределения случайной величины - student2.ru

Для определения числовых характеристик в биномиальное распределение подставить вероятность которая определяется по формуле Бернули. Функция распределения случайной величины - student2.ru Функция распределения случайной величины - student2.ru

При биномиальном распределении дисперсия равна мат. Ожиданию умноженному на вероятность появления события в отдельном опыте.

15. Распределение Пуассона Когда требуется спрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансировать число и производительность точек обслуживания и время ожидания в очереди. Пуассоновским называют закон распределения дискретной случайной величины Х числа появления некоторого события в n-независимых опытах если вероятность того, что событие появится ровно m раз определяется по формуле.

Функция распределения случайной величины - student2.ru a=np

n-число проведенных опытов

р-вероятность появления события в каждом опыте

В теории массового обслуживания параметр пуассоновского распределения определяется по формуле

а=λt , где λ - интенсивность потока сообщений t-время

Необходимо отметить, что пуассоновское распределение является предельным случаем биномиального, когда испытаний стремится к бесконечности, а вероятность появления события в каждом опыте стремится к 0. Функция распределения случайной величины - student2.ru Пуассоновское распределение является единичным распределением для которого такие характеристики как мат. Ожидание и дисперсия совпадают и они равны параметру этого закона распределения а.

16. Нормальный закон распределения В начале XIX века нормальное распределение затмило собой все остальные, поскольку в работах Гаусса и Лежандра утверждалось о нормальном законе распределения ошибок наблюдений. Нормальный закон распределения (или распределение Гаусса) задается следующей дифференциальной функцией параметры Функция распределения случайной величины - student2.ru . Функция распределения случайной величины - student2.ru

Функция распределения случайной величины - student2.ru ( Функция распределения случайной величины - student2.ru - max Функция распределения случайной величины - student2.ru = а - Функция распределения случайной величины - student2.ru , x Функция распределения случайной величины - student2.ru = а + Функция распределения случайной величины - student2.ru - точки перегиба.

17. Правило трех сигм При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм. Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D: Функция распределения случайной величины - student2.ru Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа: Функция распределения случайной величины - student2.ru Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее. На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

18. Закон больших чисел Неравенство Чебышева На практике сложно сказать какое конкретное значение примет случайная величина, однако, при воздействии большого числа различных факторов поведение большого числа случайных величин практически утрачивает случайный характер и становится закономерным. Этот факт очень важен на практике, т.к. позволяет предвидеть результат опыта при воздействии большого числа случайных факторов.Однако, это возможно только при выполнении некоторых условий, которые определяются законом больших чисел. К законам больших чисел относятся теоремы Чебышева (наиболее общий случай) и теорема Бернулли (простейший случай), которые будут рассмотрены далее.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х (хотя все сказанное ниже будет справедливо и для непрерывных случайных величин), заданную таблицей распределения Требуется определить вероятность того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания будет не больше, чем заданное число e. Теорема. (Неравенство Чебышева) Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше чем Функция распределения случайной величины - student2.ru Функция распределения случайной величины - student2.ru

19. Локальная и интегральная теорема Лапласа Если число опытов достаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления события А в каждом опыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа Локальная теорема Лапласа.Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна Функция распределения случайной величины - student2.ru Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступит не менее m1 раз и не более m2 раза приблизительно равно

Функция распределения случайной величины - student2.ru

20. Совместное распределение случайных величин Совместной функцией распределения случайных величин , назовем функцию , зависящую от n вещественных переменных, такую, что Функция распределения случайной величины - student2.ru Предложение 4.1 (Без доказательства) . Перечислим некоторые свойства функций распределения нескольких случайных величин: Функция распределения случайной величины - student2.ru Монотонность по каждой переменной, например, Функция распределения случайной величины - student2.ru

Пределы на ``минус бесконечности'': если в совместной функции распределения зафиксировать все переменные, кроме одной, а оставшуюся переменную устремить к Функция распределения случайной величины - student2.ru , то предел равен нулю. Например, для фиксированных Функция распределения случайной величины - student2.ru Пределы на ``плюс бесконечности''.Если все переменные устремить к Функция распределения случайной величины - student2.ru ,в пределе получится единица Функция распределения случайной величины - student2.ru Если зафиксируем все переменные, кроме одной, которую устремим к Функция распределения случайной величины - student2.ru , получим функцию распределения меньшего набора случайных величин. Например, Функция распределения случайной величины - student2.ru

21.Линии регрессии, корелляции Если две случайные величины Х и Y имеют в отношении друг друга линейные функции регрессии, то говорят, что величины Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

22. «Хи-квадрат» распределение с f степенями свободы, распределение вероятностей суммы квадратов c^2 = X1^2+...+Xf^2, независимых случайных величин X1,..., Xf, подчиняющихся нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция «Х.-к.» р. выражается интегралом Функция распределения случайной величины - student2.ru

Первые три момента (математическое ожидание дисперсия и третий центральный момент) суммы c2 равны соответственно f, 2f, 8f. Сумма двух независимых случайных величин c1^2 и c2^2, с f^1 и f^2 степенями свободы подчиняется «Х.-к.» р. с f^1 + f^2 степенями свободы. Примерами «Х.-к.» р. могут служить распределения квадратов случайных величин, подчиняющихся Рэлея распределению и Максвелла распределению. В терминах «Х.-к.» р. с чётным числом степеней свободы выражается Пуассона распределение: Функция распределения случайной величины - student2.ru Если количество слагаемых f суммы c2 неограниченно увеличивается, то согласно центральной предельной теореме распределение нормированного отношения сходится к стандартному нормальному распределению: Функция распределения случайной величины - student2.ru где Функция распределения случайной величины - student2.ru

Функция распределения случайной величины - student2.ru Следствием этого факта является другое предельное соотношение, удобное для вычисления Ff (x) при больших значениях f: Функция распределения случайной величины - student2.ru

23. Распределение Стьюдента - распределение получило свое название от псевдонима Student, которым английский ученый Госсет подписывал свои работы по статистике. Пусть Функция распределения случайной величины - student2.ru -- независимые стандартные нормальные случайные величины. Распределением Стьюдента с степенями свободы называется распределениеследующей случайной величины: Функция распределения случайной величины - student2.ru (46) Если вспомнить введенную формулой (44) случайную величину Функция распределения случайной величины - student2.ru , то можно сказать, что отношение Функция распределения случайной величины - student2.ru имеет распределение Стьюдента. Плотность этого распределения представляет собой симметричную функцию, задаваемую формулой Функция распределения случайной величины - student2.ru По форме график функции Функция распределения случайной величины - student2.ru напоминает график плотности стандартного нормального закона, но с более медленным убыванием ``хвостов''. При Функция распределения случайной величины - student2.ru последовательность функций Функция распределения случайной величины - student2.ru сходится к функции Функция распределения случайной величины - student2.ru , которая есть плотность распределения Функция распределения случайной величины - student2.ru . Чтобы понять, почему этот факт имеет место, следует обратить внимание на то, что по закону больших чисел знаменатель выражения (46) при Функция распределения случайной величины - student2.ru стремится к Функция распределения случайной величины - student2.ru

24. Теорема Фишера для нормальных выборок В этом параграфе мы приводим теорему, впервые доказанную Р.А. Фишером в 1925 г. Она существенно облегчает статистический анализ независимых выборок из нормального распределения. Теорема Фишера. Пусть Функция распределения случайной величины - student2.ru независимая выборка из распределения Функция распределения случайной величины - student2.ru Тогда 1. выборочное среднее Функция распределения случайной величины - student2.ru и выборочная дисперсия Функция распределения случайной величины - student2.ru независимы;

2. Функция распределения случайной величины - student2.ru имеет Функция распределения случайной величины - student2.ru -распределение с Функция распределения случайной величины - student2.ru степенью свободы.

25. Задачи математической статистики Математическая статистика, раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Предмет и метод математической статистики. Статистическое описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отдельные объекты, — с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях объектов, называется статистическим. Статистический метод применяется в самых различных областях знания.

26. Выборочный метод Общее понятие о выборочном методе. Множество всех единиц совокупности, обладающих определенным признаком и подлежащих изучению, носит в статистике название генеральной совокупности. На практике по тем или иным причинам не всегда возможно или же нецелесообразно рассматривать всю генеральную совокупность. Тогда ограничиваются изучением лишь некоторой части ее, конечной целью которого является распространение полученных результатов на всю генеральную совокупность, т. е. применяют выборочный метод. Для этого из генеральной совокупности особым образом отбирается часть элементов, так называемая выборка, и результаты обработки выборочных данных (например, средние арифметические значения) обобщаются на всю совокупность. Теоретической основой выборочного метода является закон больших чисел. В силу этого закона при ограниченном рассеивании признака в генеральной совокупности и достаточно большой выборке с вероятностью, близкой к полной достоверности, выборочная средняя может быть сколь угодно близка к генеральной средней. Закон этот, включающий в себя группу теорем, доказан строго математически. Таким образом, средняя арифметическая, рассчитанная по выборке, может с достаточным основанием рассматриваться как показатель, характеризующий генеральную совокупность в целом. Разумеется, не всякая выборка может быть основой для характеристики всей совокупности, к которой она принадлежит. Таким свойством обладают лишь репрезентативные (представительные) выборки, т. е. выборки, которые правильно отражают свойства генеральной совокупности. Существуют способы, позволяющие гарантировать достаточную репрезентативность выборки. Как доказано в ряде теорем математической статистики, таким способом при условии достаточно большой выборки является метод случайного отбора элементов генеральной совокупности, такого отбора, когда каждый элемент генеральной совокупности имеет равный с другими элементами шанс попасть в выборку. Выборки, полученные таким способом, называются случайными выборками. Случайность выборки является, таким образом, существенным условием применения выборочного метода.

27. Точечные оценки параметров генеральной совокупности Оценка параметра — определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т. е. Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания)служит выборочная средняя. Генеральная дисперсия имеет две точечные оценки: — выборочная дисперсия, которая исчисляется при н Функция распределения случайной величины - student2.ru 30; S^2 — исправленная выборочная дисперсия, которая исчисляется при n < 30. Причем в математической статистике доказывается, что Функция распределения случайной величины - student2.ru При больших объемах выборки и S^2практически совпадают. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия. Генеральное среднее квадратическое отклонение также имеет две точечные оценки: — выборочное среднее квадратическое отклонение и S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. используется для оценивания при п 30, a S для оценивания при п < 30; пpи этом Функция распределения случайной величины - student2.ru

28. Интервальные оценки параметров генеральной совокупности Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. Для его определения вычисляется предельная ошибка выборки Функция распределения случайной величины - student2.ru , позволяющая установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью (надежностью) должен находиться параметр генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности. Если выбирается коэффициент таким, что высказывание в 95% случаев окажется правильным и только в 5% — неправильным, то говорится, что: со статистической надежностью в 95% доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной совокупности. Статистической надежности в 95% соответствует доверительная вероятность — 0,95. В 5% случаев утверждение «параметр принадлежит доверительному интервалу» будет неверным, т. е. 5% задает уровень значимости ( Функция распределения случайной величины - student2.ru ) или 0,05 вероятность ошибки. Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтобы он не превысил 5% (α < 0,05). Доверительная вероятность и уровень значимости дополняют друг друга до 1 (или 100%) и определяют надежность статистического высказывания. С помощью доверительного интервала можно оценить не только генеральную среднюю, но и другие неизвестные параметры генеральной совокупности.

29. Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней Функция распределения случайной величины - student2.ru при известном среднем квадратическом отклонении а генеральной совокупности (на практике — при большом объеме выборки, т. е. при п Функция распределения случайной величины - student2.ru 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (5.5) примет вид Функция распределения случайной величины - student2.ru (6.6) где tопределяется по таблицам функции Лапласа (приложение 2) из соотношения Функция распределения случайной величины - student2.ru ; — среднее квадратическое отклонение; п — объем выборки (число обследованных единиц). Функция распределения случайной величины - student2.ru

30 Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности (при большом объеме выборки, т. е. при п Функция распределения случайной величины - student2.ru 30) и собственно-случайном бесповторном отборе формула (5.6) примет вид.

Функция распределения случайной величины - student2.ru (6.7) Функция распределения случайной величины - student2.ru

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Xпо выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонениигенеральной совокупности (на практике — при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (6.6) будет иметь вид Функция распределения случайной величины - student2.ru (6.8) где tопределяется по таблицам Стьюдента (приложение 5), по уровню значимости Функция распределения случайной величины - student2.ru и числу степеней свободы k = п - 1; — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; п — объем выборки. Функция распределения случайной величины - student2.ru Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности (при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном бесповторном отборе формула (5.8) примет вид Функция распределения случайной величины - student2.ru (6.9) Функция распределения случайной величины - student2.ru Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле w = m/п (при большом объеме выборки, т. е. при п 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (6.5) будет иметь вид Функция распределения случайной величины - student2.ru где tопределяется по таблицам функции Лапласа (приложение 2) из соотношения 2Ф0(t) =; w— выборочная доля; п — объем выборки (число обследованных единиц); Функция распределения случайной величины - student2.ru Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле w= т/п (при большом объеме выборки, т. е. при п 30) и собственно-случайном бесповторном отборе формула (5.10) примет вид Функция распределения случайной величины - student2.ru ,(6.11) Функция распределения случайной величины - student2.ru Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле w ~ т/п (при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (6.10) примет вид Функция распределения случайной величины - student2.ru где tопределяется по таблицам Стьюдента (приложение 5), по уровню значимости а = 1 - и числу степеней свободы k — п - 1. Функция распределения случайной величины - student2.ru Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле w= т/п (при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном бесповторном отборе формула (6.12) будет иметь вид Функция распределения случайной величины - student2.ru Функция распределения случайной величины - student2.ru

31. Доверительный интервал для дисперсии По закону c 2 ("хи-квадрат") распределена сумма n квадратов независимых нормально распределенных величин, каждая из которых имеет математическое ожидание, равное 0, и дисперсию, равную 1. Очевидно, у этого закона один параметр n , получивший название - "число степеней свободы". Используя элементарные знания теории вероятностей, легко показать, что математическое ожидание Mc 2n = n , дисперсия Dc 2n = 2n , плотность распределения p(c 2n ) имеет один максимум, который при n = 1 и n = 2 лежит в точке c 2n = 0, а затем с ростом n сдвигается в сторону увеличения c 2n . При очень больших n (n > 30) распределение, как следует из центральной предельной теоремы, практически неотличимо от нормального с соответствующими значениями матeматического ожидания и дисперсии. Можно показать , что комбинация Функция распределения случайной величины - student2.ru Здесь: n - объем выборки; Sx2 - оценка дисперсии результата измерения х, определенная по формуле (1.2) ; s 2 - "истинная" дисперсия результата измерения, т.е. оцениваемый параметр, который нам не известен; символ " ~ " здесь и в дальнейшем использован для сокращения записи вместо слов "распределено по закону". Рассмотрим на примере, как закон (2.1) можно использовать для построения доверительного интервала для дисперсии. Допустим, что мы создали новую установку для измерения длины волны l в оптическом спектре. Нас интересует оценка случайной погрешности измерений на этой установке, т.е. какова дисперсия значений длин волн, полученных на нашей установке. Осветим установку источником с паспортизованной длиной волны (например,

l 0= 632,8 нм) и выполним 5 измерений. Получим выборку из пяти значений: l 1= 633.1 нм, l 2 = 632.9 нм, l 3 = 633.4 нм, l 4 = 633.3 нм, l 5= 632.5 нм. Вычислим согласно (1.1) и (1.2): Функция распределения случайной величины - student2.ru = 633.04 нм, Sl 2 = 0.128 нм2 .

32. Проверка статистической гипотезы о мат ожидании нормального распределения при известной дисперсии Применение критерия сравнения двух выборочных средних при известных и равных дисперсиях предусматривает вычисление статистики Функция распределения случайной величины - student2.ru где Функция распределения случайной величины - student2.ru , Функция распределения случайной величины - student2.ru - объем Функция распределения случайной величины - student2.ru -й выборки, Функция распределения случайной величины - student2.ru В случае принадлежности наблюдений нормальным законам статистика подчиняется стандартному нормальному закону.

33. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии Проверяемая гипотеза о постоянстве дисперсии Функция распределения случайной величины - student2.ru выборок объема Функция распределения случайной величины - student2.ru имеет вид: Функция распределения случайной величины - student2.ru . (1) а конкурирующая с ней гипотеза – Функция распределения случайной величины - student2.ru (2) где неравенство выполняется, по крайней мере, для одной пары индексов Функция распределения случайной величины - student2.ru , Функция распределения случайной величины - student2.ru Статистика для проверки гипотезы имеет вид Функция распределения случайной величины - student2.ru Степенями свободы для распределения статистики являются число выборок Функция распределения случайной величины - student2.ru и . Функция распределения случайной величины - student2.ru В [Закс Л.] приводятся таблицы процентных точек для статистик, заимствованные из [Pearson E.S., Hartley H.O.

34.Проверка статистической значимости. Выборочного коэффициента корреляции Проверкой статистической значимости выборочной оценки d параметра D генеральной совокупности называется проверка статистической гипотезы H0: D =0,при конкурирующей гипотезе
H1: D ¹ 0. Если гипотеза H0 отвергается, то оценка d считается статистически значимой. Пусть имеются две случайные величины x и h, определенные на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности, причем обе имеют нормальное распределение. Задача заключается в проверке статистической гипо­тезы об отсутствии корреляционной зависимости между случайными величинами x и h: H0: rxh = 0; H1: rxh ¹ 0. Здесь rxh – коэффициент линейной корреляции.Производится выборка объема n и вычисляется выборочный коэффициент корреляции r. За статистический критерий принимается случайная величина Функция распределения случайной величины - student2.ru , которая распределена по закону Стьюдента с n – 2 степенями свободы. Отметим сначала, что все возможные значения выборочного коэффициента корреляции r лежат в промежутке [–1;1]. Очевидно, что относительно большие отклонения в любую сторону значений t от нуля получаются при относительно больших, то есть близких к 1, значениях модуля r. Близкие к 1 значения модуля r противоречат гипотезе H0, поэтому здесь естественно рассматривать двустороннюю критическую область для критерия t. По уровню значимости a и по числу степеней свободы n – 2 находим из таблицы распределения Стьюдента значение tкр. Если модуль выборочного значения критерия tв превосходит tкр, то гипотеза H0 отвергается и выборочный коэффициент корреляции считается статистически значимым. В противном случае, то есть если |tв| < tкр и принимается гипотеза H0, выборочный коэффициент корреляции считается статистически незначимым.

Наши рекомендации