Границя функції на нескінченності
Число називається границею функції
при
, якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності
значень аргументу відповідна послідовність
значень функції збігається до числа
.
Символічно це записують так: .
Число називається границею функції
при
, якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності
, елементи
якої додатні (від'ємні), відповідна послідовність
значень функції збігається до числа
.
Символічно це записують так:
.
Можна дати означення "в термінах ", рівносильні наведеним вище.
Теореми про границі функцій
Теорема. Якщо функція має границю в точці
, то ця границя єдина.
Доведення. Припустимо, що функція має дві різні границі
. Виберемо з області визначення функції
довільну послідовність
, збіжну до
. Тоді послідовність
, згідно з означенням границі функції, матиме дві різні границі
, що неможливо, оскільки будь-яка збіжна послідовність має єдину границю.
Теорема. Якщо функції і
мають у точці
границі, то функції
(при
) у точці
також мають границі, причому
; (3)
; (4)
. (5)
Доведення. Нехай послідовність
– довільна збіжна до
послідовність значень аргументу функцій
і
. Тоді відповідні послідовності
і
збіжні й за властивостями збіжних послідовностей
;
;
(де
).
Отже, згідно з означенням границі функції мають місце співвідношення 3-5.
Теорема . Нехай функції і
, визначені в деякому околі точки
, крім, можливо, самої точки
, мають у точці
границі, й такі, що в околі точки
. Тоді
.
Доведення. Виберемо в околі точки довільну збіжну до
послідовність
. Тоді послідовності
і
збіжні й
. Тому за відповідною властивістю збіжних послідовностей
.
Звідси, за означенням границі функції в точці, .
Наслідок. Якщо в деякому околі , крім, можливо, самої точки
, виконується нерівність
і функція
у точці
має границю, то
.
Теорема 3.5. Нехай функції визначені в деякому околі точки
, крім, можливо, самої точки
, функції
мають у точці
границю, рівну
, тобто
. Нехай, крім того, виконується нерівність
. Тоді функція
у точці
має границю, рівну
, тобто
.
Доведення. Нехай
– довільна збіжна до
послідовність. Послідовності
і
відповідних значень функції
збіжні, й
. Оскільки
, то згідно з відповідною властивістю збіжних послідовностей
. Отже, за означенням границі функції в точці
.
Зауваження. Наведені вище теореми про границі мають місце і для випадків .
ЛЕКЦІЯ 11
24. Визначні границі.
25. Нескінченно малі й нескінченно великі функції.
26. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
Визначні границі
![]() |
Перша визначна границя .Покажемо, що
.
Розглянемо у крузі радіуса
гострий кут
, хорду
і дотичну до кола в точці
(рис. 4). Для площ трикутників
та колового сектора
виконуються нерівності
.
Отже,
.
Звідси
.
Розділивши ці нерівності на (
, оскільки
), одержимо
. Із останніх нерівностей випливає
.
Помноживши всі частини на (–1) та додавши 1, матимемо
.
Оскільки , то
.
Задамо довільне число > 0. Нерівність
або
справджується, як тільки , тобто
. Таким чином, для довільного числа
існує число
таке, що для всіх
, які задовольняють умову
, виконується нерівність
.
Із цього випливає, що 1 є правою границею функції , тобто
. Оскільки функція
парна, то і
. Отже,
.
Друга визначна границя. Доведемо, що
.
Раніше було встановлено, що . Нехай
. Покладемо
. Тоді
, де
. Оскільки
, то
. Отже,
. (6)
Якщо , то і
. При цьому
Ураховуючи співвідношення (6), маємо
.
Нехай тепер . Покладемо
. Тоді
Ураховуючи обидва випадки, одержуємо
.