Границя функції на нескінченності

Число називається границею функції при , якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності значень аргументу відповідна послідовність значень функції збігається до числа .

Символічно це записують так: .

Число називається границею функції при , якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності , елементи якої додатні (від'ємні), відповідна послідовність значень функції збігається до числа .

Символічно це записують так:

.

Можна дати означення "в термінах ", рівносильні наведеним вище.

Теореми про границі функцій

Теорема. Якщо функція має границю в точці , то ця границя єдина.

Доведення. Припустимо, що функція має дві різні границі . Виберемо з області визначення функції довільну послідовність , збіжну до . Тоді послідовність , згідно з означенням границі функції, матиме дві різні границі , що неможливо, оскільки будь-яка збіжна послідовність має єдину границю.

Теорема. Якщо функції і мають у точці границі, то функції (при ) у точці також мають границі, причому

; (3)

; (4)

. (5)

Доведення. Нехай послідовність – довільна збіжна до послідовність значень аргументу функцій і . Тоді відповідні послідовності і збіжні й за властивостями збіжних послідовностей

;

;

(де ).

Отже, згідно з означенням границі функції мають місце співвідношення 3-5.

Теорема . Нехай функції і , визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , мають у точці границі, й такі, що в околі точки . Тоді .

Доведення. Виберемо в околі точки довільну збіжну до послідовність . Тоді послідовності і збіжні й . Тому за відповідною властивістю збіжних послідовностей .

Звідси, за означенням границі функції в точці, .

Наслідок. Якщо в деякому околі , крім, можливо, самої точки , виконується нерівність і функція у точці має границю, то .

Теорема 3.5. Нехай функції визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , функції мають у точці границю, рівну , тобто . Нехай, крім того, виконується нерівність . Тоді функція у точці має границю, рівну , тобто .

Доведення. Нехай – довільна збіжна до послідовність. Послідовності і відповідних значень функції збіжні, й . Оскільки , то згідно з відповідною властивістю збіжних послідовностей . Отже, за означенням границі функції в точці .

Зауваження. Наведені вище теореми про границі мають місце і для випадків .

ЛЕКЦІЯ 11

24. Визначні границі.

25. Нескінченно малі й нескінченно великі функції.

26. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.

Визначні границі

Перша визначна границя .Покажемо, що

.

Розглянемо у крузі радіуса гострий кут , хорду і дотичну до кола в точці (рис. 4). Для площ трикутників та колового сектора виконуються нерівності

.

Отже,

.

Звідси

.

Розділивши ці нерівності на ( , оскільки ), одержимо . Із останніх нерівностей випливає

.

Помноживши всі частини на (–1) та додавши 1, матимемо

.

Оскільки , то .

Задамо довільне число > 0. Нерівність

або

справджується, як тільки , тобто . Таким чином, для довільного числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють умову , виконується нерівність

.

Із цього випливає, що 1 є правою границею функції , тобто . Оскільки функція парна, то і . Отже, .

Друга визначна границя. Доведемо, що

.

Раніше було встановлено, що . Нехай . Покладемо . Тоді , де . Оскільки , то . Отже,

. (6)

Якщо , то і . При цьому

Ураховуючи співвідношення (6), маємо

.

Нехай тепер . Покладемо . Тоді

Ураховуючи обидва випадки, одержуємо

.