Задачи для самостоятельного решения

Рис. 1.3.12 Рис. 1.3.13

Четные – Д/З, нечетные РГР

1. Найти декартовы координаты центра масс однородной квадратной тонкой пластинки, находящейся в плоскости YZ (рис. 1.3.12).

Рис. 1.3.14

2. Найти декартовы координаты центра масс неоднородной квадратной пластинки с поверхностными плотностями и , , находящейся в плоскости YZ (рис.1.3.13).

3. Показать, что для произвольной системы N частиц, ее импульс может быть вычислен по формуле , где – масса системы, – скорость ее центра масс.

Рис. 1.3.15

4. Найти импульс однородного диска массой , катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью (рис. 1.3.14).

5. Шар массой m₂, имеющий скорость , налетает на покоящийся шар массой m₁ (рис. 1.3.15 а). Могут ли после соударения скорости шаров и иметь направления, показанные на рис. 1.3.15 б, в? В случае положительного ответа, сформулировать условия на угол a.

6. Два тела массами m₁ = 2,0 кг и m₂ = 5,0 кг, движущиеся свободно со скоростями (м/с) и (м/с), испытывают неупругое соударение. Чему равны скорость центра масс системы и ее импульс до и после удара?

7. Два одинаковых шара претерпевают центральный удар. До удара второй шар неподвижен, а первый движется со скоростью . Характер удара шаров такой, что потеря механической энергии системы составляет одну треть той потери, которая имела бы место при абсолютно неупругом ударе этих же шаров. Найти скорости шаров и после удара.

8. Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чего возникла составная частица. Найти ее скорость и модуль , если масса частицы 2 в h = 2 раза больше, чем у частицы 1, а их скорости перед столкновением равны (м/с); (м/с).

Рис. 1.3.16

9. Шарик массой , движущийся горизонтально, ударяется о поверхность призмы массой M (рис. 1.3.16) так, что отскакивает вертикально вверх на высоту h. Считая удар абсолютно упругим, определить скорость, полученную призмой в результате удара. Трением призмы пренебречь.

10. Какая энергия пошла на деформацию двух столкнувшихся шаров массами кг, если они двигались навстречу друг другу со скоростями м/c и м/c, а удар прямой неупругий.

11. Тело массой m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Спустя время t тело упало на Землю. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) приращение импульса тела за время полета; б) среднее значение импульса за время t.

12. Частица массой m движется в плоскости XY под действием постоянной по модулю силы , поворачивающейся в этой плоскости по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью w. В начальный момент времени сила направлена по оси X, скорость частицы равна . Найти импульс частицы в момент времени t.

13. Два шара претерпевают центральный абсолютно неупругий удар. До удара шар массой неподвижен, шар массой движется с некоторой скоростью. Какая часть h первоначальной кинетической энергии теряется при ударе, если: а) ; б) ; в) ?

14. Шар массой совершает центральный абсолютно упругий удар о покоящийся шар массой . а) При каком соотношении масс и первый шар полетит после удара в обратном направлении? б) Что происходит с первым шаром, если массы шаров одинаковы? в) Что происходит с первым шаром, если ?

Рис. 1.3.17

15. Два шара движутся навстречу друг другу вдоль оси Х. Масса первого шара кг, масса второго шара кг. До столкновения проекции скоростей шаров на ось равны: м/с; м/с. Найти проекции скоростей шаров и после их центрального абсолютно упругого соударения.

16. Шар массой , движущийся со скоростью , ударяет о неподвижный шар массой . После абсолютно упругого соударения шары летят со скоростями и в направлениях, указанных на рис. 1.3.17. а) При каком соотношении масс и возможны случаи: a = p/2; a = b ¹ 0;a = b = 0; a = p, b = 0? б) Возможен ли случай b = p/2? в) Чему равно предельное возможное значение угла bпри a = p/2? г) Какую относительную долю своей кинетической энергии передает первый шар второму в случаях:a = p/2; a = b ¹ 0; a = b = 0; a = p, b = 0? д) Чему равно предельное значение h при a = b ¹ 0? е) При каких значениях , , b первый шар покоится после удара? ж) Найти угол b в случаях: a = p/2 и ; a = b ¹ 0; . Сравнить угол разлета шаров a+b в обоих случаях. з) Доказать, что в случае при любом значении a (0 < a < p/2) угол разлета шаров равен p/2.

17. Два одинаковых шара претерпевают центральный удар. До удара второй шар неподвижен, первый движется со скоростью . Характер удара таков, что потеря энергии составляет h-ю часть той, которая имела бы место при абсолютно неупругом ударе. 1) Определить скорости шаров и после удара. 2) Исследовать случаи: а) h = 1; б) h = 20; в) h = 0,1; г) h = 0,5;д) h = 0,9.

Рис. 1.3.18 Рис. 1.3.19

18. Частица массой испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массой , в результате которого частица m отклонилась на угол p/2, а частица M отскочила под углом q = 30° к первоначальному направлению движения частицы m. На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если ?

19. Замкнутая система состоит из двух частиц с массами и , которые движутся под прямым углом друг к другу со скоростями и . Найти в системе центра масс импульс каждой частицы и суммарную кинетическую энергию частиц.

20. На нити подвешен груз массой m (рис.1.3.18). Пуля, летящая горизонтально, попадает в груз. При этом возможны три случая: а) пуля, пробив груз и сохранив известную часть скорости, летит дальше; б) пуля застревает в грузе; в) пуля отскакивает от груза. Найти углы отклонения груза в каждом случае.

21. Шарик, висящий на нити, отклонили от вертикали на угол 60° и отпустили (рис. 1.3.19). В момент, когда шарик достиг вертикального положения, он ударился о вертикальную стенку и потерял половину своей кинетической энергии. На какой угол он отклонился после удара?

22. Плот массой свободно скользит по поверхности воды со скоростью . На плот с берега прыгает человек массой . Скорость человека перпендикулярна к скорости плота и равна . Определить скорость плота с человеком. Трением плота о воду пренебречь.

23. На полу стоит тележка в виде длинной доски массой = 20 кг, снабженная легкими колесами. На одном конце доски стоит человек массой = 60 кг. С какой скоростью относительно пола будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью = 1 м/с относительно доски? Массой колес пренебречь, трение не учитывать.

24. На краю покоящейся тележки массой стоят два человека, масса каждого из которых равна . Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью относительно тележки: а) одновременно; б) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше?

25. Расшалившиеся дети бросили мяч вслед проехавшему мимо грузовому автомобилю. С какой скоростью отскочил мяч от заднего борта грузовика, если скорость грузовика u = 7 м/с, скорость мяча перед ударом м/с и направлена по нормали к поверхности борта. Удар считать абсолютно упругим.

Рис. 1.3.20

26. Небольшая шайба массой m без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой h и попадает на доску массой M, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости
(рис. 1.3.20). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.

27. Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая вертикально вниз струю газа со скоростью u = 900 м/с. Сколько времени ракета может оставаться в состоянии покоя, если начальная масса топлива составляет h = 25 % от ее массы (без топлива).

28. Определить скорость ракеты, выпущенной вертикально вверх, через t = 4с после старта, если ее масса в начальный момент m₀ = 2 кг, а относительная скорость выхода продуктов сгорания u = 100 м/с, скорость расхода горючего m = 0,2 кг/с.

29. На катере, масса которого m = 2×10⁵ кг, установлен водометный двигатель, выбрасывающий ежесекундно в направлении, противоположном движению катера, m = 200 кг/с воды со скоростью u = 5 м/с относительно катера. Определить скорость катера через 5 мин после начала движения. Сопротивлением воды пренебречь.

30. Шайба 1, скользившая по шероховатой горизонтальной поверхности, испытала соударение с покоившейся шайбой 2. После столкновения шайба 1 отскочила под прямым углом к направлению своего первоначального движения и прошла до остановки путь s₁ = 1,5 м, а шайба 2 – путь s₂ = 4 м. Найти скорость шайбы 1 непосредственно перед столкновением, если ее масса в n = 1,5 раза меньше массы шайбы 2, а коэффициент трения m = 0,17.

31. Из брандсбойта сечением s = 5 см² бьет горизонтальная струя воды со скоростью = 10 м/с в вертикальную стенку стоящей на рельсах вагонетки и свободно стекает по стенке вниз. С каким ускорением будет двигаться вагонетка, если ее масса m = 200 кг, а направление струи воды параллельно рельсам? Сопротивление движению вагонетки принять равным m = 0,01 ее силы тяжести.

32. При пескоструйной обработке детали песок направляется на отрабатываемую поверхность со скоростью = 50 м/с. Масса песчинки m = 0,1 г, площадь соприкосновения ее с деталью s = 0,3 мм², а угол, образованный траекторией песчинки с нормалью к поверхности удара, составляет 30° и равен углу, образованному траекторией с нормалью после удара. Время удара = 0,001 с. Определить давление, оказываемое песчинкой на поверхность материала, если песчинка отражается с потерей половины скорости.

33. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два шара, между которыми находится сжатая пружина. Затем пружине дали возможность распрямиться, вследствие чего шары приобрели некоторые скорости. Вычислить их, зная, что массы шаров 1 кг и 2 кг, а энергия сжатой пружины 3 Дж. Массой пружины пренебречь.

34. Тело массой m брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью ₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) мгновенную мощность , развиваемую при полете тела приложенной к нему силой; б) значение мощности в вершине траектории; в) среднее значение мощности < > за все время полета (точка бросания и точка падения находятся на одном уровне).

35. Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением (Дж). Найти работу, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки А с координатами (1,00; 1,00; 1,00) в точку В с координатами (2,00; 2,00; 2,00). Чему равно изменение кинетической энергии частицы при данном переходе? Найдите силу, действующую на частицу в точках А и В.

36. Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид: , где a и b – положительные константы. а) Имеется ли у этой частицы положение устойчивого равновесия по отношению к смещению в радиальном направлении? б) Нарисовать примерную кривую зависимости .

37. Тело массой m начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу , которую изменяют с высотой подъема по закону , где a > 0, . Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине высоты подъема.

38. Частица массой m = 4,0 г движется в двумерном поле, где ее потенциальная энергия = 0,19 Дж/м². В точке А (3,0 м; 4,0 м) частица имела скорость ₁ = 3,0 м/с, а в точке В (5,0 м; – 6,0 м) скорость ₂ = 4,0 м/с. Найти работу сторонних сил на пути между точками А и В.

Рис. 1.3.21

39. Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой H, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 1.3.21). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние? Чему оно равно?

40. Небольшая шайба массой = 5,0 г начинает скользить, если ее положить на шероховатую поверхность полусферы на высоте h₁ = 60 см от горизонтального основания полусферы. Продолжая скользить, шайба отрывается от полусферы на высоте
h₂ = 25 см. Найти работу сил трения, действующих на шайбу при ее соскальзывании.

41. Цепочка массой m = 0,80 кг длиной = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет h = 1/3 длины цепочки. Какую работу совершают силы трения, действующие на цепочку при ее полном соскальзывании со стола?

Рис. 1.3.22

42. Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия – положительная постоянная, r – расстояние частицы до центра поля (точки О). Найти массу частицы, если наименьшее расстояния ее до точки О равно r₁, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки – ₂.

43. Маленький шарик лежит на поверхности большого шара радиусом R = 1,0 м (рис. 1.3.22). Какую начальную скорость необходимо сообщить маленькому шарику, чтобы он оторвался от поверхности большого шара в точке M, расположенной так, что угол a = 60°? 1) Трением пренебречь. 2) Считать, что коэффициент трения малого шарика о поверхность большого m = 0,3.

Рис. 1.3.23   Рис. 1.3.24

44. Поезд массой кг поднимается вверх по уклону с углом наклона a = 10° со скоростью 15 м/с и проходит путь 2,0 км. Определить работу и среднюю мощность, развиваемую тепловозом при движении поезда. Коэффициент трения 0,05.

45. В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью w = 5,0 рад/с, движется небольшое тело массой г. Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела по произвольному пути из точки 1 в точку 2, которые расположены на расстояниях r₁ = 30 см и r₂ = 50 см от оси вращения?

46. К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат О , приложена сила , где a, b, A, B – постоянные, – орты осей X и Y. Найти момент и плечо силы относительно точки О.

47. Небольшая шайба массой m = 50 г начинает скользить с вершины гладкой наклонной плоскости, высота которой h = 100 см и угол наклона к горизонту a = 15° (рис. 1.3.23). Найти модуль момента импульса шайбы относительно оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка, через t = 1,3 с после начала движения.

48. Шайба А массой m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью , испытала упругое столкновение с гладкой неподвижной стенкой в точке О (рис. 1.3.24). Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен a. Найти: а) точки, относительно которых момент импульса шайбы остается постоянным в этом процессе; б) модуль приращения момента импульса шайбы относительно точки , которая находится в плоскости движения шайбы на расстоянии от точки O.

49. Небольшой шарик массой m, привязанный на нити длиной к потолку в точке О, движется по горизонтальной окружности так, что нить вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w. Относительно каких точек момент импульса шарика остается постоянным? Найти модуль приращения момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.

50. Шарик массой m падает без начальной скорости с высоты h над поверхностью Земли. Найти модуль приращения момента импульса шарика за время падения относительно точки О системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью в горизонтальном направлении. В момент начала падения точка О совпадала с шариком. Сопротивление воздуха не учитывать.