Несобственные интегралы первого рода

Если функция определена и непрерывна на любом отрезке [a,b], то несобственным интегралом с бесконечным пределом или несобственным интегралом первого рода называется интеграл:

или , или

, с – произвольное число.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Теоремы о сходимости и расходимости:

1. Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условию: , то из сходимости интеграла следует сходимости интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла («признак сравнения»).

2. Если при и существует конечные предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Примеры:

1. - не существует несобственный интеграл расходится.

2. - интеграл сходится.

Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной функции)

Если функция непрерывна на промежутке и имеет разрыв II-го рода при , то несобственным интегралом неограниченной функции или несобственным интегралом второго родва называется интеграл: или , если функция терпит бесконечный разрыв в точке .

Если функция терпит разрыв II-го рода во внутренней точке , то несобственным интегралом второго рода называют интеграл: .

Замечание: внутренних точек разрыва II-го рода внутри отрезка может быть несколько.

Теоремы о сходимости и расходимости:

1. Если на промежутке функции и непрерывны, при терпит разрыв II-го рода и удовлетворяют условию: , то из сходимости интеграла следует сходимости интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла («признак сравнения»).

2. Пусть функции и непрерывны на промежутке и в точке терпит разрыв II-го рода. Если существует предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если функция , знакопеременная на отрезке , имеет разрыв в точке , и несобственный интеграл сходится, то сходится и интеграл .

Задания для самопроверки №2

Вычислить:

1. Ответ: 6-2ln4

2. Ответ:

3. Ответ: 0

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ: π

8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

a) Ответ: сходится

b) Ответ: расходится

c) Ответ: сходится

d) Ответ: расходится

Геометрические приложения определенного

Интеграла

1. Вычисление объём тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть тело, заключеное между двумя плоскостями x=a и x=b, имеет площадь сечения S(x) при , проведенного перпендикулярно к оси Ох, и которое является известной и непрерывной изменяющейся при изменении х.

Тогда объем этого тела вычисляется по формуле .

2. Объёмы тел вращения

Пусть кривая, задана уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y=f(x)

, где V – объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции 0 £ y £ f(x),

a £ x £ b вокруг оси Ох.

х=j(у)

, где V – объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции 0£ x £ j(y),

c £ y £ d вокруг оси ОУ.

3. Площади плоских фигур, длины дуг кривых, площадь поверхности тела вращения рассмотрим в таблице 8.

Таблица 8.

В прямоугольных координатах	В полярных координатах
y=f(x) на или x=φ(y )на		.
Площадь плоских фигур
или
Длины дуг кривых
или
Вычисление площади поверхности вращения

Примеры:

1. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:

а)

Решение:

б) y=2 ( ).

Решение:

.

2. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями.

а)

Найдём сначала производную

б)

Найдём производные

в)

Найдём производную

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси (рис. см. приложение №1).

Решение:

, Þ

= = = (ед. кв.)

4. Найти объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси Ох.

Решение:

Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти половину искомого объема и полученный результат удвоить. = = = = = . Следовательно .

5.Найти площадь поверхности шара радиуса R, рассматривая его как тело вращения.

Решение.

Поверхность шара может быть образована вращением дуги полуокружности. Рассмотрим разные варианты задания уравнения окружности:

1) Окружность задана в декартовых координатах:

а) полуокружность , вращение вокруг оси Ох.

Применяем формулу: , ,

.

б) полуокружность , вращение вокруг оси Оу.

Применяем формулу: , ,

.

2) Окружность задана параметрическими уравнениями: .

Применяем формулу:

. Следовательно, .

3) Окружность задана в полярных координатах.

Применяем формулу: .

Следовательно, .