Операторные передаточные функции и временные характеристики электрических цепей
Под операторной передаточной функцией H(p) понимают отношение L-изображения реакции цепи к L-изображению воздействия, подведенного к цепи, при нулевых начальных условиях задачи. Воздействием на цепь может быть задающее напряжение или задающий ток источника, реакцией – любой ток или напряжение в цепи.
В соответствии с этим возможны следующие виды передаточных функций:
Операторная передаточная функция представляет собой дробную рациональную функцию с вещественными коэффициентами
,
степень числителя которой обычно не превышает степени знаменателя, т. е. m £ n.
L-изображение переходной характеристики, связано с операторной передаточной функцией зависимостью
h(t) £ 
.
L-изображением импульсной характеристики цепи является операторная передаточная функция, т. е.
g(t) £ H(p).
Комплексная передаточная функция может быть получена из операторной заменой p = jw. При этом модуль комплексной передаточной функции |H(jw)| представляет собой амплитудно-частотную характеристику цепи, а аргумент q(w) – ее фазочастотную характеристику
H(jw) = |H(jw|ejq(w).
3.1. Связь операторной передаточной функции
пассивной цепи 1-го порядка
с ее временными характеристиками
[1, c. 243–246, 260–261, 266–267; 2, c. 196–204]
 |
| Рис. 3.1 |
3.1.0. Найдите операторную передаточную функцию 
цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, и соответствующие переходную h(t) и импульсную g(t) характеристики, если L = 4 мГн, R1 = R2 = 1 кОм. Постройте примерный график переходной характеристики h(t).
В задачах 3.1.1–3.1.25 найдите операторную передаточную функцию H(p), вид которой определяется указанными в схеме цепи реакцией u2(t) либо i2(t) и воздействием u0(t) либо i0(t). Найдите для полученной H(p) соответствующие переходную h(t) и импульсную g(t) характеристики цепи. Постройте примерный график переходной характеристики h(t).
Таблица 3.1
| Вариант | Схема цепи | Вариант | Схема цепи |
| 3.1.1 |  C = 0,2 мкФ; R1 = R2 = 4 кОм | 3.1.2 |  L = 0,3 мГн; R1 = R2 = R3 = 1 кОм |
| 3.1.3 |  C = 0,05 мкФ; R1 = R2 = 1 кОм | 3.1.4 |  L = 4 мГн; R1 = R2 = 2 кОм |
Продолжение табл. 3.1
| Вариант | Схема цепи | Вариант | Схема цепи |
| 3.1.5 |  C = 0,1 мкФ; R1 = R2 = 5 кОм; R3 = 10 кОм | 3.1.6 |  L = 2 мГн; R1 = R3 = 2 кОм; R2 = 4 кОм |
| 3.1.7 |  C = 0,02 мкФ; R1 = R2 = 5 кОм | 3.1.8 |  L = 2 мГн; R1 = R2 = 4 кОм |
| 3.1.9 |  C = 2 нФ; R1 = R2 = 10 кОм; R3 = 20 кОм | 3.1.10 |  L = 1,5 мГн; R1 = R2 = R3 = 1 кОм |
| 3.1.11 |  C = 0,05 мкФ; R1 = R3 = 2 кОм; R2 = 1 кОм | 3.1.12 |  L = 2 мГн; R1 = R2 = 1 кОм; R3 = 2 кОм |
Продолжение табл. 3.1
| Вариант | Схема цепи | Вариант | Схема цепи |
| 3.1.13 |  C = 0,25 мкФ; R1 = R3 = 1 кОм; R2 = 0,5 кОм | 3.1.14 |  L = 8 мГн; R1 = R2 = 1 кОм |
| 3.1.15 |  C = 2000 пФ; R1 = R2 = 2 кОм | 3.1.16 |  L = 6 мГн; R1 = R2 = R3 = 2 кОм |
| 3.1.17 |  C = 1000 пФ; R1 = R2 = 10 кОм | 3.1.18 |  L = 10 мГн; R1 = R2 = 5 кОм; R3 = 2,5 кОм |
| 3.1.19 |  C = 0,125 мкФ; R1 = R3 = 2 кОм; R2 = 4 кОм | 3.1.20 |  L = 4 мГн; R1 = R2 = 500 Ом; R3 = 1 кОм |
Окончание табл. 3.1
| Вариант | Схема цепи | Вариант | Схема цепи |
| 3.1.21 |  C = 0,125 мкФ; R1 = R2 = 4 кОм | 3.1.22 |  L = 6 мГн; R1 = R2 = 3 кОм |
| 3.1.23 |  C = 2000 пФ; R1 = R2 = 2 кОм | 3.1.24 |  L = 8 мГн; R1 = R2 = 4 кОм |
| 3.1.25 |  C = 2500 пФ; R1 = R3 = 4 кОм; R2 = 2 кОм |
3.2. Анализ нестационарных колебаний
в цепи с использованием переходной характеристики
[1, c. 267–273; 2, c. 204–206]
 |
| Рис. 3.2 |
В задачах 3.2.0–3.2.25 найдите реакцию цепи, заданной в задачах 3.1.0–3.1.25, на видеоимпульс напряжения или тока прямоугольной формы. В зависимости от вида воздействия в цепи выберите соответствующий вид импульса: для источника напряжения – рис. 3.2, а, для источника тока – рис. 3.2, б. Постройте примерный график реакции, полагая tи = 2t.
3.3. Связь между временными и частотными характеристиками
активной RC-цепи 2-го порядка
[1, c. 234–236, 245–248, 302–305; 2, c. 229–232]
3.1.0. Найдите операторную передаточную функцию 
ARC-цепи, схема которой приведена на рис. 3.3, и соответствующую ей переходную характеристику h(t), если
 |
| Рис. 3.3 |
R = 100 кОм, C1 = 1,75 нФ, C2 = 1 нФ. Найдите комплексную передаточную функцию H(jw) и соответствующие АЧХ и ФЧХ цепи. Постройте примерные графики h(t) и АЧХ цепи и оцените связь между ними. Убедитесь в устойчивости цепи по критерию Найквиста.
В задачах 3.3.1–3.3.25
1. Найдите операторную передаточную функцию 
ARC-цепи 2-го порядка.
1.1. Нарисуйте операторную схему замещения цепи, заменив условное изображение операционного усилителя (ОУ) его схемой замещения в виде ИНУН из табл. 3.2. Коэффициент усиления может быть либо сколь угодно большим (m ® ¥), либо конечным положительным или отрицательным числом K.
1.2. Составьте для операторной схемы замещения систему узловых уравнений для L-изображений колебаний и, решив ее, найдите H(p).
2. Найдите по операторной передаточной функции H(p) переходную характеристику h(t), комплексную передаточную функцию H(jw) и соответствующие амплитудно-частотную ½H(jw)½ и фазочастотную Q(w) характеристики цепи.
3. Постройте примерные графики h(t) и АЧХ цепи и оцените связь между ними, проверив выполнение соотношений между граничными значениями переходной характеристики цепи (при t = 0 и t ® ¥) и ее АЧХ (при w = 0 и w ® ¥):
.
Таблица 3.2
| Наименование элемента | Схемное изображение по ГОСТ | Схемное изображение в стандартных программах для ПК | Схемы замещения |
| Дифференциальный операционный усилитель |  |  |  |
| Инверсный операционный усилитель |  |  |  |
| Усилитель с конечным усилением |  |  |  |
| Усилитель с конечным усилением |  |  |  |
| Усилитель-повторитель напряжения |  |  |  |
4. Постройте на ПК графики h(t) и АЧХ с использованием программ MathCad либо FASTMEAN:
для получения графиков с помощью программы MathCad возьмите функции h(t) и H(p) либо H(jw) c цифровыми коэффициентами;
при использовании FASTMEAN:
4.1. Изобразите на экране дисплея схему заданной цепи, заземлите базисный узел (как показано на схеме) и определите нумерацию узлов, заданную программой.
4.2. Подключите ко входу цепи источник гармонических колебаний, постройте и зарисуйте АЧХ и ФЧХ в линейном масштабе, определите по графику и запишите граничные значения АЧХ:
.
Источник гармонических колебаний отключите.
4.3. Смодулируйте и подключите ко входу цепи источник напряжения в виде единичного ступенчатого воздействия 1(t), постройте и зарисуйте переходную характеристику h(t), определите по графику и запишите величину периода свободных колебаний Tсв и граничные значения h(t):
.
При построении графиков АЧХ и h(t) выберите начальные и конечные значения переменных w и t такими, чтобы на экране были видны особенности характеристик.
5. Убедитесь в устойчивости ARC-цепи по критерию Найквиста.
5.1. Нарисуйте схему цепи при закороченных входных зажимах (U1 = 0) и разрыве цепи на входе ОУ и ее операторную схему замещения.
5.2. Найдите операторную передаточную функцию B(p) цепи с разомкнутой петлей ОС (петлевое усиление), составив систему узловых уравнений.
5.3. Запишите комплексное выражение B(jw) = B(p)|p = jw и рассчитайте значение частоты w0, при которой Jm B(jw0) = 0, величину Re B(jw0) и сделайте вывод об устойчивости ARC-цепи.
5.4. Постройте на ПК годограф петлевого усиления B(jw) на комплексной плоскости при изменении частоты 0 £ w £ ¥:
• при использовании программы MathCad возьмите функцию B(p) либо B(jw) с цифровыми коэффициентами;
• при использовании программы FASTMEAN нарисуйте схему с разомкнутой петлей ОС, подключите генератор гармонических колебаний к входному зажиму ОУ и постройте годограф.
6. Для вариантов, цепи которых построены на усилителях с конечным усилением K, рассчитайте значение коэффициента усиления K, при котором цепь будет находиться строго на границе устойчивости, и частоту собственных колебаний при этом.
Таблица 3.3
| Вариант | Схема ARC-цепи | Параметры |
| 3.3.1 |  | R = 100 кОм С = 2 нФ K = 3,4 |
| 3.3.2 |  | R = 100 кОм С = 1, нФ K = 1,1 |
| 3.3.3 |  | R = 100 кОм С = 1 нФ K = 4,3 |
Продолжение табл. 3.3
| Вариант | Схема ARC-цепи | Параметры |
| 3.3.4 |  | R = 100 кОм С1 = 1 нф C2 = 10 нФ m ® ¥ |
| 3.3.5 |  | R1 = 5 кОм R2 = 100 кОм С = 1 нФ m ® ¥ |
| 3.3.6 |  | R = 100 кОм С = 1 нФ K = 34 |
| 3.3.7 |  | R = 100 кОм С = 2,4 нФ K = 3,2 |
| 3.3.8 |  | R = 100 кОм С = 1 нФ K = 2,33 |
Продолжение табл. 3.3
| Вариант | Схема ARC-цепи | Параметры |
| 3.3.9 |  | R = 100 кОм С = 1 нФ K = 61 |
| 3.3.10 |  | R = 100 кОм С = 1,4 нФ K = 1,2 |
| 3.3.11 |  | R = 100 кОм С = 1 нФ K = 3,1 |
| 3.3.12 |  | R1 = 25 кОм R2 = 100 кОм С = 1 нФ m ® ¥ |
| 3.3.13 |  | R = 100 кОм С = 1,4 нФ K = 2,5 |
Продолжение табл. 3.3
| Вариант | Схема ARC-цепи | Параметры |
| 3.3.14 |  | R1 = 100 кОм R2 = 10 кОм С = 1 нФ m ® ¥ |
| 3.3.15 |  | R = 100 кОм С = 1 нФ K = 3 |
| 3.3.16 |  | R = 100 кОм С = 2,8 нФ K = 30 |
| 3.3.17 |  | R = 100 кОм С = 0,5 нФ K = 34 |
| 3.3.18 |  | R = 100 кОм С1 = 4,5 нФ С2 = 1 нФ m ® ¥ |
Продолжение табл. 3.3
| Вариант | Схема ARC-цепи | Параметры |
| 3.3.19 |  | R = 100 кОм С1 = 10 нФ С2 = 0,5 нФ m ® ¥ |
| 3.3.20 |  | R = 100 кОм С = 1 нФ K = 3,3 |
| 3.3.21 |  | R1 = 10 кОм R2 = 100 кОм С = 1 нФ m ® ¥ |
| 3.3.22 |  | R = 100 кОм С1 = 3,7 нФ С2 = 0,5 нФ m ® ¥ |
| 3.3.23 |  | R1 = 100 кОм R2 = 10 кОм С = 1 нФ m ® ¥ |
Окончание табл. 3.3
| Вариант | Схема ARC-цепи | Параметры |
| 3.3.24 |  | R = 100 кОм С = 1 нФ K = 19 |
| 3.3.25 |  | R = 100 кОм С1 = 0,5 нФ С2 = 10 нФ m ® ¥ |
3.4. Операторные передаточные функции
пассивных цепей 3-го порядка
[1, c. 243–246; 2, c. 196–199]
 |
| Рис. 3.4 |
3.4.0. Найдите операторную передаточную функцию 
цепи, схема которой представлена на рис. 3.4. Представьте ее в виде
и рассчитайте коэффициенты функции H(p), если L = 1 мГн, C1 = 0,02 мкФ, С2 = 0,01 мкФ, R = 5 Ом.
В задачах 3.4.1–3.4.25 найдите операторную передаточную функцию H(p), вид которой определяется указанными в схеме цепи реакцией u2(t) либо i2(t) и воздействием u1(t) либо i1(t). Рассчитайте коэффициенты функции H(p) по заданным параметрам.
Проверьте правильность полученного выражения, используя блок символьного анализа в программе FASTMEAN.
Постройте амплитудно-частотную |H(jw)|, фазочастотную Q(w) и переходную h(t) характеристики цепи на ПК, используя одну из программ: MathCad либо FASTMEAN.
Для получения характеристик при помощи программы MathCad возьмите функцию H(p) либо H(jw) с цифровыми коэффициентами.
Для получения характеристик при помощи программы FASTMEAN выполните рекомендации п. 4 задачи 3.3.
По графикам АЧХ и h(t) оцените связь между ними, проверив выполнение соотношений между их граничными значениями.
Таблица 3.4
| Вариант | Схема RLC-цепи | Вариант | Схема RLC-цепи |
| 3.4.1 |  L1 = L2 = 1 мкГн; C = 10 нФ; R = 10 Ом | 3.4.2 |  L1 = L2 = 1 мкГн; C = 10 нФ; R = 10 Ом |
| 3.4.3 |  C1 = С2 = 10 нФ; L = 10 мкГн; R = 10 Ом | 3.4.4 |  C1 = С2 = 20 нФ; L = 2 мкГн; R = 10 Ом |
| 3.4.5 |  C1 = С2 = 0,125 мкФ; L = 4 мкГн; R = 5 Ом | 3.4.6 |  L1 = L2 = 1 мкГн; C = 0,5 мкФ; R = 4 Ом |
| 3.4.7 |  L1 = L2 = 0,4 мкГн; C = 0,2 мкФ; R = 1 Ом | 3.4.8 |  C1 = С2 = 66,6 нФ; L = 15 мкГн; R = 12,5 Ом |
Продолжение табл. 3.4
| Вариант | Схема RLC-цепи | Вариант | Схема RLC-цепи | ||
| 3.4.9 |  L1 = L2 = 0,2 мкГн; C = 0,1 мкФ; R = 0,5 Ом | 3.4.10 |  L1 = L2 = 5 мкГн; C = 0,2 мкФ; R = 4 Ом | ||
| 3.4.11 |  L1 = L2 = 2 мкГн; C = 1 мкФ; R = 1 Ом | 3.4.12 |  L1 = L2 = 8 мкГн; C = 0,5 мкФ; R = 2 Ом | ||
| 3.4.13 |  L1 = L2 = 0,5 мкГн; C = 5 нФ; R = 5 Ом | 3.4.14 |  C1 = С2 = 50 нФ; L = 20 мкГн; R = 10 Ом | ||
| 3.4.15 |  C1 = С2 = 10 нФ; L = 10 мкГн; R = 10 Ом | 3.4.16 |  C1 = С2 = 0,25 мкФ; L = 2 мкГн; R = 5 Ом | ||
| 3.4.17 |  L1 = L2 = 2 мкГн; C = 0,25 мкФ; R = 5 Ом | 3.4.18 |  C1 = С2 = 0,5 мкФ; L = 4 мкГн; R = 10 Ом | ||
Окончание табл. 3.4
| Вариант | Схема RLC-цепи | Вариант | Схема RLC-цепи | ||
| 3.4.19 |  C1 = С2 = 50 нФ; L = 20 мкГн; R = 20 Ом | 3.4.20 |  L1 = L2 = 0,2 мкГн; C = 0,1 мкФ; R = 0,5 Ом | ||
| 3.4.21 |  L1 = L2 = 8 мкГн; C = 0,25 мкФ; R = 2 Ом | 3.4.22 |  C1 = С2 = 0,25 мкФ; L = 2 мкГн; R = 1 Ом | ||
| 3.4.23 |  L1 = L2 = 10 мкГн; C = 10 нФ; R = 8 Ом | 3.4.24 |  C1 = С2 = 10 нФ; L = 1 мкГн; R = 10 Ом | ||
| 3.4.25 |  L1 = L2 = 2 мкГн; C = 10 нФ; R = 5 Ом | ||||
Контрольные вопросы
1. Что называют операторной передаточной функцией цепи?
2. Какие цепи называют устойчивыми? Каковы основные свойства их передаточных функций?
3. Какова связь между операторной и комплексной передаточными функциями?
4. Что называется АЧХ и ФЧХ цепи? Как они связаны с комплексной передаточной функцией?
5. Что называют единичным импульсным воздействием?
6. Что называется импульсной характеристикой цепи?
7. В свободном или вынужденном режиме протекает переходный процесс в цепи при воздействии на нее единичного импульса?
8. Выполняются ли в цепи законы коммутации при импульсном воздействии?
9. Что называют единичной ступенчатой функцией?
10. Что называется переходной характеристикой цепи?
11. Какими соотношениями связана операторная передаточная функция с временными характеристиками цепи?
12. Какими соотношениями связаны временные характеристики между собой?
13. Какими соотношениями связаны граничные значения временных и частотных характеристик?
14. Какие цепи называют цепями с обратной связью?
15. Что называют петлевым усилением?
16. Что понимают под критерием устойчивости Найквиста?
17. Как убедиться в устойчивости цепи по критерию Найквиста?