Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 11 страница

Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон

распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение =0,4;

в) условный закон распределения Y при условии, что

Решение:

а) Сложив вероятности «по столбцам», напишем закон распределения X:

X 2 5 8

p 0,2 0,42 0,38

Сложив вероятности «по строкам», найдем закон распределения y:

y 0,4 0,8

p 0,80 0,20

б) Найдем условные вероятности возможных значений X при условии, что составляющая Y приняла значение

Напишем искомый условный закон распределения X:

X 2 5 8

Контроль:

в) Аналогично найдем условный закон распределения Y:

Y 0,4 0,8

Контроль: .

№422 Задана дискретная двумерная случайная величина (X;Y):

Y	X
	0,25   0,15   0,32	0,10   0,05   0,13

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y=10; б) условный закон распределения Y при условии, что X=6.

Решение:

а) Найдем условные вероятности возможных X при условии, что составляющая Y приняла значение 10:

Напишем искомый условный закон распределения X:

X 3 6

Контроль:

б) Аналогично найдем условный закон распределения Y:

Y 10 14 18

Контроль:

№423 Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной

величины (X,Y):

Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности

распределения составляющих.

Решение: а) Найдем плотность распределения составляющей X:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата; тогда

Учитывая, что интеграл Пуассона , окончательно получим плотность распределения составляющей X:

Аналогично найдем плотность распределения составляющей Y:

б) Найдем условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим:

№424 Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) постоянный множитель C; б) плотности распределения составляющих; в)

условные плотности распределения составляющих.

Решение:

а) Воспользуемся свойством двумерной плотности распределения:

Вычислим интеграл:

Учитывая, что интеграл Пуассона , окончательно получи

Тогда постоянная

б) Найдем плотность распределения составляющей X:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата, тогда:

Учитывая, что интеграл Пуассона , окончательно получим плотность распределения составляющей X:

Найдем плотность распределения составляющей Y:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования x, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата, тогда:

Учитывая, что интеграл Пуассона , окончательно получим плотность распределения составляющей Y:

в) Найдем условные плотности распределения составляющих выполнив элементарные выкладкт, получим:

Таким образом, и

№425 Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины

в квадрате 0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2; вне квадрата . Доказать, что

составляющие X и Y независимы.

Решение:

Найдем плотность распределения составляющей X:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, тогда:

Найдем плотность распределения составляющей Y:

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования x, тогда:

Найдем условные плотности распределения составляющих:

Получаем, и . Другими словами условные плотности распределения случайных величин X и Y равны их безусловным плотностям, а это значит, что эти величины независимы.

№426 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри

прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2а и 2b,

параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы;

б) плотности распределения составляющих.

Решение:

а) Поскольку распределение равномерное, то . Воспользуемся свойством плотности вероятности:

Для нашей области D, которая представляет собой прямоугольник ABCD, получим:

Вычислим интеграл:

Тогда

Двумерная плотность вероятности имеет вид:

б) Найдем плотность составляющей X:

т.е

Найдем плотность составляющей Y:

т.е.

№427 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри

прямоугольной трапеции с вершинами O(0;0), A(0;4), B(3;4), С(6;0). Найти: а) двумерную

плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

Решение:

а) Поскольку распределение равномерное, то . Воспользуемся свойством

плотности вероятности:

Для нашей области D, которая представляет собой трапецию OABC, получим:

Область D разобьем на две области D₁ - прямоугольник OABN и D₂ - прямоугольный

треугольник NBC. Рассмотрим эти области.

Область D₁ – прямоугольник OABN сверху ограничен прямой AB, уравнение которой

y=4, а снизу - прямой ON, уравнение которой y=0, при этом 0≤x≤3.

Область D₂ – прямоугольный треугольник NBC сверху ограничен прямой BC, а снизу -

прямой NC, уравнение которой y=0, при этом 3≤x≤6.

Найдем уравнение прямой NC:

Вычислим интеграл:

Тогда

Двумерная плотность вероятности имеет вид:

б) Найдем плотность составляющей X:

Если x<0, то , тогда

Если 0<x<3, то , тогда

Если 3<x<6, то , тогда

Если x>6, то , тогда

Таким образом, плотность вероятности составляющей X:

Найдем плотность составляющей Y:

Если y<0, y>4, то , тогда

Если 0<y<4, то , область ограничена сверху прямой BC, уравнение которой , а снизу прямой , тогда:

№428 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O(0;0), A(0;8), B(8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.

Решение:

а) Поскольку случайная величина распределена равномерно, то обозначим плотность совместного распределения через C, т.е. Область интегрирования D – есть прямоугольный треугольник OAB.

Воспользуемся свойством двумерной плотности распределения:

Для нашего случая получаем:

Рассмотрим треугольник OAB=D. Сверху треугольник ограничен прямой AB, а снизу – прямой OB, уравнение которой y=0, при этом

Найдем уравнение прямой AB:

Вычислим интеграл:

Тогда совместная плотность вероятности

б) Найдем плотность распределения составляющей X:

Если 0<x<8, то

Таким образом, плотность распределения вид:

Найдем плотность распределения составляющей Y:

Если 0<y<8, то

Таким образом, плотность распределения вид:

Найдем условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим:

№429 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри трапеции с вершинами A(-6;0), B(-3;4), C(3;4), D(6;0),. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

Решение:

Поскольку случайная величина распределена равномерно, то обозначим плотность

совместного распределения через C, т.е. . Область интегрирования D – есть

трапеция ABCD.

Воспользуемся свойством двумерной плотности распределения:

Для нашего случая получаем:

Рассмотрим трапецию ABCD - область D. Разобьем область D, на три части:

прямоугольный треугольник ABN, прямоугольник NBCK и прямоугольный треугольник KCD.

Рассмотрим треугольник ABN. Сверху треугольник ограничен прямой AB, а снизу -

прямой ON, уравнение которой y=0, при этом -6< x<-3.

Найдем уравнение прямой AB:

Рассмотрим прямоугольник NBCK. Сверху прямоугольник ограничен прямой BC, уравнение которой y=4, а снизу - прямой ON, уравнение которой y=0, при этом -3<x<3.

Рассмотрим треугольник ABN. Сверху треугольник ограничен прямой AB, а снизу -

прямой ON, уравнение которой y=0, при этом 3<x<6.

Найдем уравнение прямой CD:

Вычислим интеграл:

Тогда совместная плотность вероятности

б) Найдем плотность распределения составляющей X:

Если x<-6, то f(x,y)=0, следовательно, f₁(x)=0

Если -6<x<-3, то

Если -3<x<3, то

Если 3<x<6, то .

Если x<6, то f(x,y)=0, следовательно

Таким образом, плотность распределения X имеет вид:

Найдем плотность распределения составляющей Y:

Если 0<y<4 , то трапеция ABCD сверху ограничена прямой CD, уравнение которой , а снизу - прямой AB, уравнение которой .

Если 0<y<4 ,то

Таким образом, плотность распределения Y имеет вид: .

№430. Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.

Решение:

а) Найдем сначала плотность распределения составляющей X:

Аналогично получим

Найдем математическое ожидание составляющей X:

Интегрируя по частям и учитывая, что интеграл Пуассона , получим . Очевидно, что .

б) Найдем дисперсию X:

Очевидно, что

Прокаева Наталия

№431 Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины ( , )

Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

Решение:

Найдем сначала плотность распределения составляющей :

( ).

Аналогично получим

( ).

Найдем математическое ожидание составляющей :

Учитывая, что интеграл Пуассона , получим

. Очевидно, что .

Найдем дисперсию :

Очевидно, что

Ответ: ;