Экстремум функции двух переменных

Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки М₀(x₀; y₀).

М₀(x₀;y₀) – точка локального максимума функции z = f(x; y), если существует такая окрестность точки М₀, что для всех точек М (x; y) из этой окрестности выполняется: f(x; y) ≤ f(x₀; y₀).

М₀(x₀; y₀) – точка локального минимума функции z = f(x; y), если существует такая окрестность точки М₀, что для всех точек М (x; y) из этой окрестности выполняется: f(x; y) ≥ f(x₀; y₀).

Точки локального максимума и локального минимума – точки локальных экстремумов.

Локальный характер экстремума – выполнимость вышеперечисленных условий лишь в некоторой окрестности точки.

Теорема 1(необходимое условие экстремума). Если функция
z = f(x; y)дифференцируема в точке М₀(x₀; y₀) и имеет в этой точке экстремум, то частные производные в этой точке равны 0:

z'_x (x₀; y₀) = z'_y (x₀; y₀) = 0.

Замечание. Функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Точки, в которых частные производные равны 0 или не существуют, называются критическими точками. Точки экстремума следует искать среди критических точек.

Теорема 2(достаточное условие экстремума). Пусть функция z = f(x; y)определена в некоторой окрестности критической точки (x₀; y₀) и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка:

Тогда, если

1) ∆ > 0, то в точке М₀ функция z = f(x; y)имеет экстремум, причем при А < 0 – локальный максимум, при А > 0 – локальный минимум;

2) ∆ < 0, то в точке М₀ экстремума нет;

3) ∆ = 0, то точка М₀ может быть, а может и не быть точкой экстремума. Необходимы дополнительные исследования.

Пример.

Найти точки экстремума функции z = x²+ xy + y² – 2x – 3y.

z'_x = 2x + y – 2,

z'_y = x + 2y – 3.

2x + y – 2 = 0

x + 2y – 3 = 0

y = 4/3 , x = 1/3.

= 2 = A, = 1 = B, z''_yy = 2 = C .

Следовательно, в точке локальный минимум.

Условный экстремум

Требуется найти экстремум функции z = f(x; y)при условии g (x; y) = 0. При этом z = f(x; y)называется целевой функцией,
g (x; y) = 0 – уравнением связи.

Экстремум – условный.

Функция g (x; y) предполагается известной.

Способы нахождения условного экстремума:

1) Метод подстановки

Из уравнения g (x;y) = 0 выражаем одну из переменных y = φ(x) и подставляем в функцию z = f(x; y) = f(x;φ(x)),получим функцию одной переменной.

Этот метод применим, когда уравнение связи легко разрешить относительно одной из переменных.

Пример.

Найти экстремум функции z = x² – 3xy+ 12x при условии6 –

– 2x – 3y =0 .

y = 2 – 2/3x, тогда z = x² – 6x + 2x² + 12x = 3x² + 6x.

z' = 6x + 6 = 0, x = -1, y = 8/3 .

Следовательно, в точке (-1;8/3) условный экстремум.

2) Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим функцию трех переменных:

L(x; y; λ) = f (x; y) + λ g(x; y).

Это функция Лагранжа, где λ – множитель Лагранжа.

Для нахождения условного экстремума функции z = f(x; y)требуется найти локальный экстремум функции L(x; y; λ). Для этого необходимо решить систему уравнений:

Пример.

Найти экстремум функции z= x² – 3xy + 12x при условии 6 – 2x – – 3y = 0.

Составим функцию Лагранжа:

L(x; y; λ) = x² – 3xy + 12x + λ(6 – 2x – 3y)

Решая данную систему, получим:

Следовательно, в точке (-1;8/3) условный экстремум.

В заключение следует отметить, что метод Лагранжа позволяет находить условные экстремумы. Но вопрос о том, максимум это или минимум, остается открытым. При решении экономических задач, однако, часто сам характер задачи подсказывает, что мы можем ожидать – максимум или минимум. Кроме того, существует простой способ анализа точки экстремума, вытекающий из самого определения.

Пусть (x₀; y₀) – точка условного экстремума, а f(x₀; y₀) – соответствующее значение целевой функции. Берется точка (x; y) близкая к точке (x₀; y₀) и вычисляется значение в ней целевой функции.

Если f (x; y) < f (x₀; y₀), то в точке (x₀; y₀) локальный максимум; если f (x; y) > f (x₀; y₀), то в точке (x₀; y₀) локальный минимум.

В настоящее время существует большое количество програм-мных пакетов, позволяющих численно решать на компьютерах задачи как условной, так и безусловной оптимизации.

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача 1

Найти и изобразить область определения функции:

y

x

-1

-1

Решение

Задача 2

Найти приближенно изменение функции при изменении x от 2 до 1,94, y от 2 до 2,06.

Решение

Найдем частные производные в точке

По условию Тогда

Ответ: – 0,24.

Задача 3

Найти частные производные второго порядка функции

Решение

Ответ: .

Задача 4

Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Решение

Найдем частные производные функции в точке .

Касательная плоскость определяется уравнением:

Тогда

Уравнение нормали имеет вид

Тогда

Ответ: уравнение касательной плоскости ;

уравнение нормали .

Задача 5

Найти точки экстремума функции

Решение

– критические точки.

Проверим критические точки на экстремум:

1)

экстремум есть.

в точке – локальный минимум.

2)

экстремума нет.

3)

экстремума нет.

4)

экстремум есть.

в точке – локальный максимум.

Ответ: функция z имеет в точке локальный минимум, в точке локальный максимум.

Контрольная работа 3.2