Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Основные понятия
Определение 1.Уравнение, вида:
(1)
где непрерывные на промежутке
функции, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) второго порядка. Если
для всех
из промежутка
, то уравнение (1) называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ):
(2)
Если то уравнение (1) называют линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).
Определение 2.Две функции и
называются линейно зависимыми на промежутке
, если для всех
их отношение равно постоянной величине, т.е.
В противном случае, если
функции называются линейно независимыми на промежутке
.
Определение 3. Если и
линейно независимые решения ЛОДУ, то они образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
Теорема 1.Если и
линейно независимые решения ЛОДУ (2) на промежутке
,то их линейная комбинация
где и
произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.
Теорема 2. Общее решение ЛНДУ второго порядка (1) представляется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ (2) и любого частного решения
ЛНДУ (1), т.е.
общее решение ЛНДУ (1).
Теорема 3. Если частное решение ЛНДУ:
а частное решение ЛНДУ:
то является частным решением ЛНДУ:
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение 1.Уравнение вида
(3)
где и
действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.
Метод Эйлера для решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Частные решения такого уравнения получают с помощью замены:
(*)
Подставляя в уравнение (3) выражения (*), получим:
(4)
Уравнение (4) называется характеристическим для данного уравнения (3). Оно является квадратным уравнением, поэтому в зависимости от величины дискриминанта возможны три случая.
1) Тогда корни характеристического уравнения (4) действительные и различные –
Они дадут два линейно независимых решения:
и
. Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:
2) В этом случае
Поэтому одно решение уравнения (3) будет
. В качестве второго, линейно независимого с первым, можно взять функцию
. Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:
или
3) В этом случае корни уравнения (4) комплексно-сопряженные:
Тогда в качестве линейно независимых решений можно взять функции
и
Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:
или
Примеры с решениями
Пример 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение:
Решение. Подставляя в заданное уравнение, получим характеристическое уравнение:
Так как корни действительные и различные, то фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Тогда общее решение данного уравнения можно записать в виде линейной комбинации:
Ответ:
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Характеристическое уравнение:
Корни этого уравнения будут действительными и равными:
Тогда фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Общее решение запишется как линейная комбинация этих решений:
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Характеристическое уравнение:
Решим его:
Корни этого уравнения будут комплексно-сопряженными:
Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций:
Ответ:
Пример 4. Решить задачу Коши:
Решение. Характеристическое уравнение:
Корни этого уравнения действительные и равные:
Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям и
Сначала найдем:
Составим систему из двух уравнений, подставляя в общее решение
Подставим найденные значения и
в общее решение:
это и будет решение задачи Коши.
Ответ:
Примеры
Найти фундаментальную систему решений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Найти общее решение уравнения:
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Решить задачи Коши или краевые задачи:
21.
22.
23.
24.
25.
Ответы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.