Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Основные понятия
Определение 1.Уравнение, вида:
(1)
где 
непрерывные на промежутке 
функции, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) второго порядка. Если 
для всех 
из промежутка , то уравнение (1) называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ):
(2)
Если 
то уравнение (1) называют линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).
Определение 2.Две функции 
и 
называются линейно зависимыми на промежутке , если для всех 
их отношение равно постоянной величине, т.е. 
В противном случае, если 
функции называются линейно независимыми на промежутке .
Определение 3. Если и 
линейно независимые решения ЛОДУ, то они образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
Теорема 1.Если и линейно независимые решения ЛОДУ (2) на промежутке ,то их линейная комбинация
где 
и 
произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.
Теорема 2. Общее решение ЛНДУ второго порядка (1) представляется в виде суммы общего решения 
соответствующего ЛОДУ (2) и любого частного решения 
ЛНДУ (1), т.е. 
общее решение ЛНДУ (1).
Теорема 3. Если 
частное решение ЛНДУ:
а 
частное решение ЛНДУ:
то 
является частным решением ЛНДУ:
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение 1.Уравнение вида
(3)
где 
и 
действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.
Метод Эйлера для решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Частные решения такого уравнения получают с помощью замены:
(*)
Подставляя в уравнение (3) выражения (*), получим:
(4)
Уравнение (4) называется характеристическим для данного уравнения (3). Оно является квадратным уравнением, поэтому в зависимости от величины дискриминанта 
возможны три случая.
1) 
Тогда корни характеристического уравнения (4) действительные и различные – 
Они дадут два линейно независимых решения: 
и 
. Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:
2) 
В этом случае 
Поэтому одно решение уравнения (3) будет . В качестве второго, линейно независимого с первым, можно взять функцию 
. Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:
или 
3) 
В этом случае корни уравнения (4) комплексно-сопряженные: 
Тогда в качестве линейно независимых решений можно взять функции 
и 
Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:
или 
Примеры с решениями
Пример 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение:
Решение. Подставляя 
в заданное уравнение, получим характеристическое уравнение:
Так как корни действительные и различные, то фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Тогда общее решение данного уравнения можно записать в виде линейной комбинации:
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Характеристическое уравнение:
Корни этого уравнения будут действительными и равными:
Тогда фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Общее решение запишется как линейная комбинация этих решений:
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Характеристическое уравнение:
Решим его: 
Корни этого уравнения будут комплексно-сопряженными:
Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций:
Ответ: 
Пример 4. Решить задачу Коши:
Решение. Характеристическое уравнение:
Корни этого уравнения действительные и равные:
Фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:
Общее решение запишется как линейная комбинация этих функций:
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
и 
Сначала найдем:
Составим систему из двух уравнений, подставляя в общее решение 
Подставим найденные значения 
и 
в общее решение:
это и будет решение задачи Коши.
Ответ: 
Примеры
Найти фундаментальную систему решений:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Найти общее решение уравнения:
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Решить задачи Коши или краевые задачи:
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 