Тождественные преобразования и равносильность уравнений

Т.Е. Бондаренко

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЙ

Учебное пособие по элементарной математике

Воронеж

УДК 512.3(075.8)

ББК 22.141.я7

Р е ц е н з е н т ы:

кандидат педагогических наук, почётный профессор кафедры информатики и методики преподавания математики (ВГПУ) Э.С. Беляева;

кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики и методики преподавания математики (ВГПУ) С.А. Титоренко

Бондаренко Т. Е.

Тождественные преобразования в процессе решения уравнений: учебное пособие по элементарной математике. – Воронеж: НАУКА – ЮНИПРЕСС, 2012. – 59с.

Настоящее учебное пособие посвящено использованию тождественных преобразований в процессе решения уравнений различных видов. Предметом исследования являются преобразования, изменяющие область определения уравнения, и, как следствие, приводящие к появлению посторонних корней или к их потере. Приводится анализ каждого преобразования, и рассматриваются средства, позволяющие сохранить равносильность уравнений. В книге содержатся многочисленные примеры решения уравнений, а также задания для самостоятельной работы учащихся.

Пособие предназначено для обеспечения курса элементарной математики в педагогическом вузе. Оно может быть использовано учителями средних общеобразовательных учреждений в процессе обучения математике, для подготовки учащихся к единому государственному экзамену или для проведения элективного курса в условиях профильного обучения.

© Бондаренко Т. Е., 2012

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I. Тождественные преобразования и равносильность уравнений . . . . . . 6

II.Тождественные преобразования, изменяющие область определения

уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Приведение подобных слагаемых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1. Анализ преобразования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Комплекс заданий.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Сокращение дробей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Анализ преобразования. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2.2. Комплекс заданий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

3. Преобразования корней арифметических корней . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1. Анализ преобразований. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Комплекс заданий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Преобразования логарифмов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1. Анализ преобразований. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Комплекс заданий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. Преобразование тригонометрических выражений. . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1. Анализ преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2. Комплекс заданий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Приложение. Основные понятия и теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Предисловие

Изучение математики тесно связано с решением уравнений. Этот процесс иногда приводит к удивительным результатам. Казалось бы решение выполнено верно, но имеющийся в учебнике ответ не совпадает с полученным. Приведём примеры.

Решим уравнение (1) [2, № 5.110, с. 87]. Умножим обе части данного уравнения на сопряжённое выражение .

Получим уравнение (2). Очевидно, что х = 0 – корень уравнения (2). Приведём его к виду и сложим с данным уравнением (1), тогда получим уравнение , решая которое найдём корни х = -8, х = 8. Подстановкой в данное уравнение убеждаемся, что -8, 0, 8 - посторонние корни данного уравнения.

Рассмотрим ещё один пример. Решим уравнение Используя свойство арифметических корней, получим уравнение , имеющее корень Однако очевидно, что и число -1 является потерянным корнем данного уравнения.

Таким образом, иногда решение уравнения может привести к появлению посторонних корней или к их потере. Возникает вопрос, почему это происходит? В настоящем пособии приводится подробный ответ на этот вопрос для случая, когда выполняются тождественные преобразования выражений, входящих в данное уравнение. В нём перечислены преобразования, выполнение которых может привести к изменениям множества корней уравнения, и описаны средства, позволяющие сохранить его. Пособие содержит многочисленные примеры с решениями и упражнения для самостоятельной работы учащихся.

Уравнения, в которых могут появиться посторонние решения или происходит их потеря представлены в различных литературных источниках. Некоторые из них приведены в списке литературы. Особенно интересные задания включены из книг [1], [2], [3]. Однако отличительной особенностью данного пособия является его тематическая направленность и систематизация учебного материала.

Автор выражает благодарность рецензентам Э.С.Беляевой, С.А Титоренко за участие в совершенствовании пособия и надеется, что оно послужит повышению качества математической подготовки студентов и школьников.

Тождественные преобразования и равносильность уравнений

Решение данного уравнения – это процесс, состоящий в переходе к другим уравнениям до тех пор, пока не будет получено уравнение с очевидными корнями. Такие переходы осуществляются посредством различных преобразований. При этом одни преобразования приводят к уравнению с такими же корнями (равносильному данному), другие - не обладают таким свойством. Напомним, что два уравнения f₁(x)=g₁(x) и f₂(x)=g₂(x) называются равносильными (эквивалентными) на множестве М, если они имеют одни и те же решения, принадлежащие этому множеству. Преобразования, сохраняющие решения, изучаются в теории равносильных уравнений. Основное содержаниеэтой теории составляют теоремы, гарантирующие замену данного уравнения ему равносильным. Наряду с основными понятиями они приведены в приложении к настоящему курсу (с.49). Особый интерес представляет для нас теорема 1. Приведём её формулировку: если в уравнении f₁(x)=g₁(x) выполнить тождественное преобразование выражений f₁(x) или (и) g₁(x), по формуле, не меняющей область определения данного уравнения D, то получится уравнение f₂(x)=g₂(x), равносильное данному уравнению на множестве D.

Например, в соответствии с теоремой 1 уравнения х³+3х²- 4х-12=0и(х+3)(х-2)(х+2)=0 равносильны на множестве всех действительных чисел, а уравнения не равносильны, так как х=-5, являясь корнем первого уравнения, не является корнем второго уравнения. Причина нарушения равносильности состоит в том, что в результате выполненного преобразования по формуле изменилась (сузилась) область определения данного уравнения, что привело к потере корня.

Докажем теорему 1 учитывая, что каждое уравнение вида f(x)=g(x) может быть приведено к виду F(x)=0.

Дано: уравнение F₁(x) = 0 (1) с областью определения D,

р – формула (тождество), посредством которого выполняется преобразование выражения F₁(x), не изменяющая D,

F₂(x) = 0 (2) – уравнение, полученное из данного уравнения в результате преобразования.

Доказать: уравнения (1) и (2) равносильны.

Доказательство

Пусть х₁ – корень уравнения (1), тогда x₁ÎD и F₁(x₁) = 0 – истинное числовое равенство. В результате применения тождества р выражение F₁(x) примет вид F₂(x). Область определения D не изменилась, то есть F₂(x₁) имеет смысл. По определению тождественно равных выражений F₂(x₁) = F₁(x₁), то есть F₂(x₁) = 0 – истинное числовое равенство, следовательно, x₁ – корень уравнения (2).

Обратно. Пусть х₂ – корень уравнения (2), тогда x₂ÎD и F₂(x₂) = 0 – истинное числовое равенство. В результате применения тождества р выражение F₂(x) примет вид F₁(x). Область определения D не изменилась, то есть F₁(x₂) имеет смысл. По определению тождественно равных выражений F₁(x₂) = 0 – истинное числовое равенство, что означает x₂ – корень уравнения (1). Равносильность доказана.

Таким образом, с преобразованиями, не изменяющими области определения данного уравнения, ситуация ясна. Однако открытым остаётся вопрос, как действовать, если тождественное преобразование меняет область определения данного уравнения. При этом оно может расширить её, и тогда возможны посторонние корни, либо сузить, что может привести к потере корней.

Выявим и исследуем тождественные преобразования, обладающие свойством расширять или сужать область определения уравнения, и определим для них средства сохранения равносильности уравнений.