Пункт 5. Методы интегрирования определенного интеграла

Методы интегрирования определенного интеграла практически не отличаются от методов интегрирования неопределенного интеграла.

Метод непосредственного интегрирования определенного интеграла состоит в том, что путем тождественных преобразований и применения свойств определенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, которые вычисляются по формуле Ньютона-Лейбница.

Примеры.

16. .

17. .

Интегрирование методом введения новой переменной определенного интеграла состоит в следующем:

1)часть подынтегральной функции заменить новой переменной так, чтобы затем получить табличный интеграл;

2)найти дифференциал от обеих частей замены;

3)найти новые пределы интегрирования определенного интеграла;

4)всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную, после чего получится табличный интеграл;

5)вычислить полученный определенный интеграл, используя новые пределы интегрирования.

Примеры:

18.

.

19. = .

20. = .

21. =

22. = .

Интегрирование по частям определенного интеграла осуществляется по формуле: , где u и - функции, зависящие от х, имеющие непрерывные производные.

Примеры:

23. .

24. = .

25. = .

Пункт 6. Приложения интеграла.

Тема 2.4. Дифференциальные уравнения.

Основные понятия.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

Однородные дифференциальные уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Пункт 1. Основные понятия.

Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные.

Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (для краткости слово «обыкновенные» иногда будем опускать), поэтому еще раз сформулируем определение таких уравнений.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные:

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка вида

(1)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения п-го порядка называется всякая функция , определенная для значений х на конечном или бесконечном интервале, имеющая производные до n-го порядка включительно и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество относительно x.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое его решение

,

которое содержит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок этого уравнения.

В результате решения дифференциального уравнения нередко приходят к зависимости, в которой у явно не выражается через х, т. е. получают выражение

(2)

Равенство вида (2), неявно выражающее общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом этого дифференциального уравнения.

Во многих случаях требуется находить решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям. Например, задача Коши состоит в отыскании решения дифференциального уравнения (1), определенного в некоторой окрестности точки и удовлетворяющего начальным условиям

где - заданные числа.

При определенных условиях на правую часть уравнения (1) данная задача (задача Коши) имеет единственное решение. Это следует из так называемых теорем существования и единственности.

Кроме задачи Коши для дифференциального уравнения (1) решаются также краевые задачи. Например, для дифференциального уравнения второго порядка отыскивают решение на отрезке такое, что выполняются граничные (краевые) условия .