Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Разделим отрезок на произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: .

Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида

.

Для каждой непрерывной на функции можно построить бесконечное число интегральных сумм, каждая из которых зависит от разбиения отрезка на части и выбора точек на каждом элементарном отрезке.

Определение.

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю; если этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка на части и выбора точек на каждом из элементарных отрезков:

.

Числа и называют пределами интегрирования; – отрезком интегрирования; – подынтегральной функцией; – подынтегральным выражением; – переменной интегрирования.

Теорема

существования определенного интеграла. Если функция непрерывна на , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные и от способа выбора точек .

Если на , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями (рис. 10).

	0
Рис. 10

Основные свойства определенного интеграла

1о	Значение определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования .
2о	Если пределы интегрирования поменять местами, то интеграл изменит знак на противоположный .
3о	Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю .
4о	Если отрезок интегрирования разбить точкой , то интеграл по всему отрезку будет равен сумме интегралов по его частям . Формула оказывается верной для любого расположения точек при условии существования всех входящих в нее интегралов.
5о	Интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций .
6о	Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
7о	Определенный интеграл в симметричных относительно нуля пределах от четной функции равен удвоенному интегралу на половине интервала интегрирования:
8о	Определенный интеграл в симметричных относительно нуля пределах от нечетной функции равен нулю

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема

Если функция на отрезке является первообразной для непрерывной функции , то равен приращению первообразной на этом отрезке:

.

Это формула Ньютона-Лейбница. Ее можно представить в виде

.

Из данного соотношения вытекает связь между определенным и неопределенным интегралами. Определенный интеграл равен функции, найденной по неопределенному интегралу и вычисленной в заданных пределах. Неопределенный интеграл – это функция, определенный интеграл – это число (значение функции).

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование основано на свойствах интеграла, формуле Ньютона-Лейбница и таблице интегралов.

2. Замена переменной:

,

где – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , , , – функция, непрерывная на . После вычисления последнего интеграла нет необходимости возвращаться к прежней переменной .

3. Интегрирование по частям:

,

где – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке . Все рекомендации относительно обозначений и сохраняются.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Вводим новую переменную интегрирования, полагая . Отсюда находим и новые пределы интеграла: при , при .

Подставляя, получим

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. По формуле интегрирования по частям находим

6. Несобственный интеграл

Несобственными интегралами называются:

§ интегралы с бесконечными пределами от ограниченных функций;

§ интегралы с конечными пределами от неограниченных функций.

Несобственный интеграл от функции в переделах от до определяется равенством

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся.

Аналогично

,

,

где – произвольная точка.

Если функция не ограничена в окрестности точки , и непрерывна при и , то, по определению, полагают

Несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела конечны в правой части равенства, и расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них.

Пример. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. Имеем

,

предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

Пример. Вычислить .

Решение. Найдем

,

несобственный интеграл сходится.

Пример. Найти .

Решение. Подынтегральная функция в точке неограниченна, поэтому

,

т.е. несобственный интеграл расходится.

7. Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные (или ее дифференциалы).

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала), входящий в уравнение.

Дифференциальное уравнение порядка в общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы до порядка включительно и имеет вид

.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

.

Задача состоит в определении из дифференциального уравнения неизвестной функции, а процесс определения функции называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решением уравнения первого порядка называется всякая дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение оно обращается в тождество

.

Кривая , определяемая решением уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется соотношение вида

,

содержащее произвольную постоянную и являющееся решением дифференциального уравнения при любом действительном значении постоянной .

Иногда вместо общего решения получают общий интеграл

,

где – функция переменной .

Уравнения определяют семейство интегральных кривых уравнения первого порядка.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение, которое получается из общего решения при некотором частном значении произвольной постоянной.