Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 6 страница

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Воспользуемся

X - отклонение (размера детали от проектного размера),

получим:

формулой:

Подставив

Таким образом, вероятность отклонения размера, меньшего 10мм, равна 0,9544. Отсюда следует, что примерно 95,44% деталей из общего числа, производимого автоматом, окажутся годными.

№ 336Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30м и ширина 8м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и, распределены нормально со среднеквадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

, равна:

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

- функция Лапласа.

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Решение: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

а) Поскольку случайные величины X и Y - расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы, то в случае попадания бомбы x заключено в интервале (-15,15) - измерение расстояния по длине моста от центра, y - в интервале (-4,4) - измерение расстояния по ширине моста от центра. Таким образом, при попадании одновременно должны выполниться два условия:

Вычислим вероятности этих условий по формуле

Поскольку величины X и Y - независимы, то вероятность произведения равна

произведению вероятностей, т.е.

Таким образом, вероятность попадания бомбы при одном сбрасывании равна 0,6741.

б) Рассмотрим случай, когда сброшены две бомбы. Событие А - мост будет разрушен, когда попадет одна бомба или обе сброшенные бомбы. Вероятность разрушения моста можно найти, если рассмотреть противоположное событие - ни одна из двух бомб не попадет. Если вероятность попадания при одном сбрасывании равна p = 0,6741, то вероятность промаха равна q = 1 - p = 1 - 0,6741 = 0,3259 . Тогда вероятность того, что ни одна из двух сброшенных бомб не попадет, равна:

Тогда вероятность, что мост будет разрушен, если на него сброшены две бомбы, равна:

Борисов Александр

№337 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10. Вероятность попадания X в интервал (10,20) равно 0.3. Чему равна вероятность попадания X в интервал (0,10)?

Решение:

Так как нормальная кривая симметрична относительно прямой x=a=10, то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу – интервалами (0,10) и (10,20), равны между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то:

P(0<X<10)=P(10<X<20)=0.3

Ответ: 0.3

№338 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=25. Вероятность попадания X в интервал (10,15) равно 0.3. Чему равна вероятность попадания X в интервал (35,40)?

Решение:

Так как нормальная кривая симметрична относительно прямой x=a=25, то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу – интервалами (10,15) и (35,40), равны между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то:

P(10<X<15)=P(35<X<40)=0.2

Ответ: 0.2

№339 Доказать, что:

т.е. что значение удвоенной функции Лапласа при заданном t определяет вероятность того, что отклонение X-a нормально распределенной величины X по абсолютной величине меньше .

Решение:

Используем формулу

Сделаем замену: =>

В итоге получаем требуемую формулу :

Ч.Т.Д.

№340 Вывести «Правило трех сигм»: вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0.9973.

Решение:

Воспользуемся формулой, которая доказывается в номере №339, а именно:

Положим t=3, тогда:

По таблице, которая находится в конце задачника, определяем, чему равна .

, тогда , а значит:

Ч.Т.Д.

№341 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10 и средним квадратическим отклонением . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0.9973 попадает величина X в результате испытания.

Решения:

Зная, что , по таблице значений формулы Лапласа находим, что t=3.

Подставляем все имеющиеся у нас значения в формулу:

И получаем:

Решаем неравенство и получаем:

Ответ:

№342 Случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.

Решение:

Зная, что , по таблице значений формулы Лапласа находим, что t=3.

Подставляем все имеющиеся у нас значения в формулу:

И получаем:

Очевидно, что если то длинна интервала будет равна 30 мм.

Ответ: 30 мм.

№343 Станок-автомат изготовляет валики, причем контролирует их диаметр X. Считая, что X – нормально распределенная случайная величина X с математическим ожиданием a=10 мм. и средним квадаратическим отклонением Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в которое с вероятностью 0.9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Решение:

Будем использовать формулу:

По таблице, которая приводится в конце учебника, находим, что если , то t=3.

Искомый интервал находится из неравенства:

Подставляя имеющиеся у нас значения, получаем:

Решаем данное неравенство, и получаем искомый интервал:

Ответ:

№344 Нормально распределенная величина X задана плотностью

Найти моду и медиану X.

Решение:

Модой M_o(X) называют то возможное значение X, при котором плотность распределения имеет максимум. Легко убедится, что при X=a производная

f ^’(a)=0; при X<a производная f ^’(a)>0, при X>a производная f ^’(a)>0; таким образом, точка X=a есть точка максимума, следовательно, M_o(X)=a

Медианой M_e(X) называют то возможное значение X, при котором ордината f(X) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. Так как нормальная кривая (график функции f(X)) симметрична относительно прямой X=a, то ордината f(a) делит пополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Следовательно, M_e(X)=a.

Итак, мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием.

№345 Случайная величина X распределена нормально, причем математическое ожидание a=0 и среднее квадратическое отклонение равно Найти значение при котором вероятность того, что X примет значения, принадлежащее интервалу ( будет наибольшей.

Решение:

Воспользуемся формулой:

Зная, что ем

Ответ:

№346 Написать плотность и функцию распределения показательного закон, если параметр

Решение:

Подставив и

F(x) =

Получаем:

F(x) =

№347 Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр

Решение:

Подставив и

F(x) =

Получаем:

F(x) =

№348 Найти параметр показательного распределения: a) заданного плотностью f(x)=0 при x<0, при x б) заданного функцией распределения F(x)=0 при x<0 и x

Решение:

Учитывая, что функция плотности выглядит так:
, то, очевидно, что в случае плотности
,

б) Учитывая, что функция распределения выглядит так:
, то, очевидно, что в случае плотности
,

Ответ: a) 2; b) 0.4

Захаров Сергей

№ 349 Доказать, что если непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, то вероятность попадания Х в интеграл (a,b) равна - .

Решение: Пусть величина Х задана функцией распределения F(х) = 1 - . Тогда вероятность попадания Х в интервал (а,b).

P(a < X < b) = f(b) –f(a) = [1 - ] – [1 - ] = -

№ 350 Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x) = 3 при х ≥ 0; при х < 0 f(x) = 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0.13, 0.7)

Решение:

Используем формулу P(a < X < b) = - . Учитывая, что, по условию, а = 0.13, b = 0.7, λ = 3, и пользуясь таблицей значений функции , получим:

P(0.13 < X < 0.7) = - = - = 0.677 – 0.122 = 0.555

№ 351 Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при х ≥ 0 плотностью распределения f(х) = 0.04 ; при х < 0 функции f(х) = 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (1,2).

Решение:

По формуле P(a < X < b) = - (см. 350 задачу). По условию а = 1, b = 2, λ = 0.04 и пользуясь таблицей значения функции , получим:

P(1 < X < 2) = - = -

№ 352 Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения f(х) = 1- ; при х < 0 функции f(х) = 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (2,5).

Решение:

По формуле P(a < X < b) = - (см. 350 задачу). По условию а = 2, b = 5, λ = 0.6 и пользуясь таблицей значения функции , получим:

P(2 < X < 5) = - = -

1 - -

№ 353 Найти математическое ожидание показательного распределения

F(x) = λ (x ≥ 0); f(x) = 0 (x < 0).

Решение:

Используем формулу М(Х) = .

Учитывая, что f(x) = 0 при х < 0 и f(x) = λ при х ≥ 0, получим M(X) =λ .

Интегрируя по частям по формуле:

- ,

Положив u =х, dv = dx и выполнив выкладки, окончательно получим М(Х) = 1/λ.

№ 354 Найти математическое ожидание показательного распределения, заданного при х ≥ 0:

А) плотностью f(х) = 5 ;

Б) функцией распределения f(x) = 1 -

№ 356 Найти:

А) дисперсию;

Б) среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: f(x) = λ при х ≥ 0; f(x) = 0 при х < 0.

Решение:

А) Используем формулу

D(X) = .

Учитывая, что f(x) = 0 при х < 0, М(Х) = 1/λ получим D(x) = λ dx –

Интегрируя дважды по частям, найдем λ dx =

Следовательно, искомая дисперсия

D(X) = 2/ – 1/ = 1/

Б) найдем среднее квадратическое отклонение:

σ(Х) = = 1/λ

№ 357 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: f(x) = 10 .

Решение:

Из предыдущей задачи видим, что:

D(x) = λ dx –

Интегрируя дважды по частям, найдем λ dx =

Следовательно, искомая дисперсия

D(X) = 2/ – 1/ = 1/

Дисперсия равна 0.01

σ(Х) = = 1/λ

среднее квадратическое отклонение равна 0.1

№ 358 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: f(x) = 1 - (х ≥ 0)

Решение:

σ(х) = = = 2.5

D(x) = = = = 6.25

№ 359 Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид f(x) = 0 при x < 0, f(x) = C при х ≥ 0; однако он забыл, чему равна постоянная С.

Требуется найти С.

Решение:

dx = 1

-λC

№ 360 Найти теоретический центральный момент третьего порядка µ₃= M[X – M(X)]³ показательного распределения.

Решение.

Рассмотрим центральный момент третьего порядка и сделаем преобразования, используя свойства математического ожидания: µ₃= M[X – M(X)]³=M(X³- 3X²M(X) + 3XM²(X) – M³(X))= M(X³) – 3M(X²)M(X) + 3M(X)M²(X) – M³(X) = M(X³) – 3M(X²)M(X) + 2M³(X)

Подставляя М(Х)= получим µ₃= M(X³) – 3M(X²) + 2

Найдем M(X³): M(X³) = = = = =

= = = = = = = )=

Итак, M(X³) =