Сумма и пересечение подпространств.
Пусть - данные подпространства пространства. Обычно их задают в виде линейных оболочек систем векторов или как множества решений некоторых однородных систем линейных уравнений, а сами векторы- координатными строками в некотором базисе. Вычисление
не составляет особого труда: это ранг объединения базисов или порождающих систем подпространств
и
.
находится по формуле
. (3)
Несколько сложнее обстоит дело с поиском базиса пересечения . В общем виде этот вопрос рассматривается в задаче №1319 [4]. Здесь же мы укажем, как найти решения конкретных задач (№№ 1320-1322 [4]). Задачу 1.6 мы решим двумя способами, второй - с помощью схемы Штифеля (предполагаем, что №1319 вы уже разобрали).
Задача 1.6. Найти базис суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов
и
Решение.Обозначим ,
. Будем считать, что координаты векторов заданы в единичном базисе
.
1 способ.Как известно, базисом суммы служит любая база системы векторов ,
. Его построение сводится к вычислению ранга матрицы, строками которой являются координаты векторов последней системы. Кроме того, базис суммы можно получить, добавляя к базису первого подпространства некоторые из векторов базиса второго подпространства.
Итак, . Базис
составляют
.
. Базис
составляют
.
.
Базис составляют
. По формуле (3) получаем
. Базис пересечения будем искать из условия
. Значит,
представим в виде
и
. Приравниваем правые части
. Это равенство эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Нужно решить эту систему и построить ФСР. Тогда
будет образовывать базис пересечения.
Решив систему, строим ФСР.
Вектор образует базис
.
2 способ. 1) Составим таблицу Штифеля для объединенной системы векторов ,
и перебрасываем наверх сначала векторы
, пока это возможно (квадратиками выделены разрешающие элементы). Векторы
, переходящие налево, не пишем и их координаты не вычисляем.
а) | ![]() | ![]() | ![]() | б) | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | -3 | ||||||
![]() | ![]() | -1 | -2 | ![]() | |||||
![]() | -5 | -2 | ![]() | ![]() | -1 | ![]() | |||
![]() | ![]() | -7 | |||||||
![]() | -1 | ![]() | |||||||
![]() |
в) | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | |||
![]() | ![]() | ||
![]() | -7 | ||
![]() |
Перебросить наверх вместо
невозможно. Следовательно,
=2, а базис
составляют
,
. Исключаем из таблицы строку
и перебрасываем наверх
вместо оставшихся
.
г) | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | -7 | ![]() | |
![]() | -19 | -7 |
Из таблицы г) получаем: , то есть
и базис суммы образуют векторы
,
,
.
2) Продолжаем работу с таблицей г), перебрасывая наверх вместо находящихся наверху
, пока это возможно. Как и выше, векторы, уходящие налево, опускаем.
д) | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | -7 |
Вектор перебросить наверх вместо
невозможно. Приходим к выводу, что
, базис
составляют
,
. По (3)
.
3) Возвращаемся к таблице г). Вектор , вошедший в базис
, представим через базис суммы
в виде:
Отсюда находим .
Вектор и
, а так как
, то
образует базис пересечения
. Оба представления вектора
дают один результат
, что подтверждает правильность вычислений. Задача решена.
Для более полного усвоения понятия суммы, прямой суммы подпространств полезно решить задачи №№1323-1329 [4].
Задача 1.7. Для подпространства , натянутого на векторы
, найти дополнительное подпространство.
Решение.Для любого подпространства линейного пространства
всегда найдется дополнительное подпространство
, то есть такое подпространство, что
. Причем, оно определяется неоднозначно. Найдем одно из таких подпространств. Для этого мы должны найти базис
подпространства
и дополнить его до базиса всего пространства
. Пусть
- базис
. Тогда
.
Найдем базис и размерность .
.
Базис -
. Так как
- сумма прямая, то
. Чтобы найти базис
дополним базис
до базиса всего пространства
векторами
,
.
. Итак,
.