Совокупные измерения

Совокупные измерения – измерения, в которых значения нескольких одновременно измеряемых однородных величин находят решением системы уравнений, которые связывают разные комбинации этих величин, измеряемые прямо или косвенно.

Систему уравнений совокупных измерений можно записать в следующем виде

, (3.53)

где i=1,2,…, n; n>m. То есть характерной особенностью совокупных измерений, также как и совместных, является то обстоятельство, что число уравнений больше, чем число неизвестных.

Здесь - результаты прямых измерений различных сочетаний искомых величин x₁,x₂,…,x_m.

Таким образом, в отличие от косвенных измерений, производятся измерения нескольких искомых величин, причем последние находятся в результате решения системы уравнений.

Легко заметить, что система уравнений (3.53) аналогична системе уравнений совместных измерений. Имеется, однако, принципиальное отличие совокупных измерений от совместных, прежде всего в постановке измерительной задачи: в результате совокупных измерений определяется не функциональная зависимость между величинами (как это делается при совместных измерениях), а сами величины, причем величины одноименные.

Несмотря на отличия, обработка экспериментальных данных при совместных и совокупных измерениях, производится практически одними и теми же приемами.

Классическим примером совокупных измерений является измерение емкости двух конденсаторов С₁ и С₂ по результатам измерения емкости каждого из них в отдельности, а также при параллельном и последовательном их соединении. Такой метод применяется для уменьшения систематической погрешности измерения, различной в разных точках диапазона измерения.

В этом случае, хотя каждое измерение выполняется с одним наблюдением, но в итоге для двух неизвестных будем иметь систему из четырех уравнений

. (3.54)

Последнее уравнение системы – нелинейное, поэтому применим для этой системы метод линеаризации, рассмотренный для случая совместных измерений, и заключающийся в разложении всех уравнений системы в ряд Тейлора. В этом случае получаем следующие значения частных производных

;

;

,

используя которые можно записать исходную систему линейных уравнений

(3.55)

Для решения этой системы необходимо выбрать точки разложения и , близкие к измеренным значениям и . Подставляя и в уравнение системы (3.54) можно найти невязки .

. (3.56)

Подставляя эти невязки в уравнение (3.55), можно получить из нее систему нормальных уравнений (по МНК)

.

Решая систему, получаем и , откуда можно найти
искомые и как

Совокупные измерения широко распространены в метрологической практике, например, при калибровке мер или шкал приборов. В этом случае система уравнений совокупных измерений имеет вид

, (3.57)

где - значения величин, подлежащих определению;

- известные коэффициенты;

- результаты сравнения различных комбинаций сочетаний мер или отметок шкал;

m - количество значений величин, подлежащих определению;

n - количество комбинаций (уравнений).

При калибровке коэффициенты принимают следующие значения:

0 – если не участвует в i-ом измерении;

1­­ – если измеряется сумма нескольких величин, в которую входит ;

-1­­ – если сумма нескольких величин сравнивается с .

Если число уравнений равно числу неизвестных, то система (3.57) решается однозначно, а действительные значения измеряемых величин и доверительные интервалы их погрешностей определяются методами обработки косвенных измерений. Однако, для уменьшения погрешностей калибровки производится сравнение большего числа комбинаций, чем количество определяемых значений величин. Тогда оценивание результатов измерений производится как при совместных измерениях. Для решения системы условных уравнений обычно применяют МНК. Этот метод, как уже было сказано, вытекает из принципа максимального правдоподобия и является оптимальным при следующих условиях:

- результаты измерения Y содержат независимые случайные погрешности с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями;

- погрешности имеют нормальное распределение.

При выполнении этих условий получаемые оценки будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Аналогично рассмотренному в разделе 3.4, можно записать систему уравнений относительно невязок

. (3.58)

Сумма их квадратов будет равна

. (3.59)

Дифференцируя выражение (3.59) по параметрам , получим следующую систему

, (3.60)

преобразуя которую и применяя обозначение Гаусса, получаем нормальную систему уравнений относительно .

. (3.61)

Решение этой системы с помощью определителей имеет вид

, (3.62)

где D – главный определитель системы

, (3.63)

а определитель получается из главного путем замены j –го столбца на столбец со свободными членами

. (3.64)

Оценки СКО определяются по формуле

, (3.65)

где - алгебраическое дополнение главного определителя, получаемое из последнего вычеркиванием j –го столбца и j –й строки;

. (3.66)

Невязки находят при выполнении совокупных измерений (3.58).

Границы погрешности совокупных измерений определяют из выражения

, (3.67)

где t_s– коэффициент Стьюдента для (n-m) степеней свободы.

Примером совокупных измерений являются проводимые при калибровке набора из пяти гирь массой m₁ = 5 кг, m₂ = 2 кг, m₃ = 2 кг, m₄ = 1кг, m₅ = 1кг по образцовой гире массой m₀ = 10кг. В этом случае можно получить следующую систему из десяти уравнений:

. (3.68)

Невязки d_i для этих уравнений получают, проводя сравнения гирь в перечисленных сочетаниях с помощью равноплечих весов, имеющих шкалу для отсчета разности масс.

Обработка результатов полученных совместных измерений осуществляется по формуле (3.63) - (3.67).

Контрольные вопросы, задачи, упражнения

1. Перечислите основные этапы измерений и их содержание.

2. Какие измерения называются прямыми? Каков физический смысл коэффициентов, входящих в уравнение прямых измерений?

3. Изложите порядок обработки прямых измерений с однократными наблюдениями.

4. Какова цель проведения прямых измерений с многократными наблюдениями? Какие задачи решаются в процессе достижения этой цели.

5. Изложите порядок обработки прямых измерений многократными наблюдениями.

6. Как производится суммирование систематических и случайных погрешностей при прямых измерениях?

7. Изложите порядок определения границ случайной погрешности при проведении прямых измерений с многократными наблюдениями.

8. Какие условия должны выполняться для обеспечения статистической однородности групп наблюдений?

9. Определите однородность и равнорассеянность двух групп наблюдений величины x и возможность их объединения. Рассчитайте оценки математического ожидания и СКО объединённых результатов наблюдений для доверительной вероятности 0,95.

x1	2.606	2.419	2.117	1.814	1.627
x2	1.52	1.581	1.797	2.128	2.491

x1	1.627	1.813	2.115	2.418	2.606
x2	2.788	2.934	2.881	2.642	2.283

10. Пользуясь принципом максимального правдоподобия, найдите эффективные оценки математического и дисперсии объединённых групп неравноточных наблюдений, если средние арифметические в группах распределены по нормальному закону.

11. Какие измерения называют косвенными? Как, имея уравнение косвенного измерения, записать выражение для его абсолютной погрешности?

12. Определите относительную методическую погрешность косвенного измерения напряжения на двух последовательно соединенных резисторах 10 кОм и 20 кОм по результатам измерения напряжения на каждом из них, если внутреннее сопротивление вольтметра составляет 100 кОм.

13. Результаты измерения напряжения U на двух последовательно соединенных резисторах определены посредством косвенных измерений на каждом из них. Значение U₁ и U₂ в одни и те же моменты времени приведены в таблице.

U1		106.6	105.6	104.4	103.4
U2	207.5	208.7	208.9		206.3
U1	103.0	103.4	105.6	106.8
U2	204.5	203.3		205.7	207.5

Определите значение оценки дисперсии результатов наблюдений с учетом корреляционной связи между U₁ и U₂.

14. Изложите алгоритм обработки результатов измерений с многократными наблюдениями аргументов.

15. В чем суть критерия ничтожных погрешностей и для чего он используется?

16. С помощью МНК определите параметра А и В зависимости заданной в таблице и границы погрешностей их определения.

	9,2	10,4	11,7	12,9	14,2	15,4
	13,37	10,72	8,95	7,68	6,72	5,98
		0,38	0,92	1,51	2,15	2,84
		21,68	12,71	9,72	8,23	7,33
		0,2292	0,2841	0,3848	0,3228	0,3319
		19,35	32,68	40,48	46,02	50,31
	7,84	8,45	9,1	9,81	10,57	11,39

	16,7	17,9	19,2	20,4
	5,39	4,9	4,49	4,15
	3,55	4,3	5,03	5,87	6,69
	6,73	6,3	5,98	5,73	5,53
	0,3882	0,3488	0,3464	0,3493	0,3516
	53,82	56,78	59,35	61,62	63,64
	12,26	13,23	14,26	15,37	16,57

17. Приведите выражения для определения коэффициента корреляции. В каких пределах он изменяется? Что определяет?

18. Как производится проверка на допустимость линеаризации искомой величины от аргументов?

19. Почему уравнения исходной избыточной системы при совместных и совокупных измерениях называются условными?

20. Каковы условия применимости МНК?

21. Где в метрологической практике применяются совместные и совокупные измерения?

22. Изложите суть МНК.

23. Объясните основные методы линеаризации при определении параметров неполиномиальных зависимостей с помощью МНК.