Переместительное свойство сходящихся рядов
Фразу «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» в школе так вбивают в голову, что она кажется аксиомой. Она действительно верна, если слагаемых конечноечисло. Но будет ли она верна, если слагаемых бесконечно много? Ответу на этот вопрос и посвящены две следующие теоремы.
Пусть дан сходящийся ряд (ряд А). Пусть
есть некоторая перестановка чисел
, причем чисел переставлено бесконечно много. Рассмотрим ряд
(ряд
), где
. Будет ли выполняться равенство
?
Теорема. Если ряд А сходится абсолютно, то ряд А’ тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Доказательство.
1. Пусть и
есть частная сумма рада А. Так как все слагаемые неотрицательны, то, очевидно, все частные суммы меньше суммы ряда А.
Рассмотрим теперь частные суммы ряда :
.
Возьмем . Тогда очевидно, что
, так как в сумме
не большеслагаемых, чем в сумме
. Но
, и поэтому
и ряд
сходится. При этом верно соотношение
.
Но ряд А также получается из ряда перестановкой слагаемых. Поэтому должно одновременно выполняться и неравенство
. Отсюда и следует, что
.
2. Пусть теперь слагаемые ряда А могут иметь произвольный знак, но ряд, составленный из их модулей, сходится: .
Основная идея дальнейшего состоит в том, чтобы разбить ряд А на два ряда, в одном их которых будут собраны все положительные слагаемые, а в другом - все отрицательные. Представим себе, что мы просматриваем все слагаемые ряда А по порядку номеров. Если окажется, что , то обозначим его через
(величины
нумеруются в порядке их появления). Если окажется, что
, то введем величину
(величины
также нумеруются в порядке их появления. Таким образом, вместо одного ряда А появятся два ряда
и
.
Так как частные суммы этих рядов удовлетворяют неравенствам
,
, то оба этих ряда сходятся. Далее очевидно, что
и
.
Но перестановка слагаемых в ряде А приведет лишь к перестановке слагаемых в рядах P и Q. Все слагаемые этих рядов положительные, следовательно, согласно п.1, от такой перестановки их суммы не изменятся, а поэтому не изменится сумма ряда А. <
Итак, в абсолютно сходящихся рядах от перестановки слагаемых из сумма не меняется. А как насчет неабсолютно сходящихся рядов?
Теорема Римана. Если ряд сходится неабсолютно, то, какое бы ни взять число В (конечное, или равное ± ¥), можно так переставить слагаемые в ряде, что его сумма станет равной В.
Так что от перестановки местами слагаемых сумма все-таки может меняться!
Доказательство.
1. Проделаем с нашим рядом ту же процедуру, что и в предыдущей теореме, и построим ряды P и Q. Но теперь ситуация меняется кардинально: есть конечное число, а
. Это может быть лишь в том случае, когда
и
, то есть ряды P и Q расходящиеся.
2. Возьмем конечное число В. Пусть, для определенности, . Начнем строить новый ряд
следующим образом.
Начнем сначала складывать положительные слагаемые из ряда Р. Так как этот ряд расходящийся, то есть его сумма равна + ¥, то на каком-то шаге накопленная сумма превзойдет число В. Мы остановимся, как только это произойдет в первый раз, то есть будет выполнено следующее
.
А теперь начнем прибавлять отрицательные слагаемые ряда А, то есть вычитать слагаемые ряда Q. Сумма этого ряда также равна + ¥, и поэтому на каком-то шаге накопленная сумма обязательно станет меньше В. Мы снова остановимся, как только это произойдет в первый раз, то есть будет выполнено следующее
,
.
Снова начнем прибавлять положительные слагаемые, пока накопленная сумма не превзойдет В, затем снова отрицательные, пока накопленная сумма не станет меньше В, и т.д. и т.д.
Эту процедуру можно проиллюстрировать следующим рисунком:
![]() | Каждый раз членов рядов P и Q берется не больше, чем необходимо для первого осуществления требуемого неравенства. Тогда отклонения накопленных сумм от В по модулю не превысят последнего написанного члена. В силу сходимости ряда А его общий член стремится к нулю. Следовательно, накопленные суммы стремятся к числу В, так что построенный ряд сходится и его сумма равна именно В. |
3. Пусть .
Возьмем последовательность чисел , такую, что
,
.
Трудность заключается в том, что нам надо разместить не только положительные, но и отрицательные члены ряда. Поэтому поступаем следующим образом:
Сначала складываем положительные слагаемые до тех пор, пока их сумма в первый разне превысит число В1:
.
Затем добавляем одноотрицательное слагаемое и снова добавляем положительные, пока их сумма в первый разне превысит число В2:
.
Снова добавляем одно отрицательное слагаемое и снова добавляем положительные, пока их сумма в первый разне превысит число В3 и т.д. Так как чисел счетное множество, то разместятся не только все положительные, но и все отрицательные слагаемые.
Очевидно, что сумма построенного таким образом ряда равна + ¥. <
Пример.
Рассмотрим ряд
,
который сходится по признаку Лейбница. Переставим его слагаемые по следующему правилу: после положительного слагаемого идут два отрицательных:
.
Из экономии, мы не будем доказывать, что этот ряд сходится - попробуйте сделать это сами.
Каждая тройка слагаемых имеет следующую структуру
,
Тогда построенный ряд принимает вид
,
так что сумма построенного ряда уменьшилась в два раза.
Таким образом, в неабсолютно сходящемся ряде можно переставлять местами только конечноечисло слагаемых, а вот переставлять местами бесконечноечисло слагаемых нельзя - можно получить все, что угодно.
Перемножение рядов
Пусть даны два ряда
(ряд А) и
(ряд В).
Как определить произведение этих рядов?
Рассмотрим бесконечную матрицу
,
составленную из всевозможных произведений вида . Нам надо сложить все элементы этой матрицы. Как это сделать? Моно, например, по диагоналям складывать
, (*)
а можно и так
,
можно еще тысячами разных способов. Но где гарантия, что все эти ряды имеют одну и ту же сумму?
Теорема Коши. Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно, то их произведение, составленное из слагаемых вида , взятых в любом порядке, также сходится и имеет своей суммой
.
Доказательство.
Рассмотрим ряд вида
в которое входят все комбинации типа , и рассмотрим его частную сумму
.
Пусть . Тогда
,
где ,
. Следовательно, ряд
сходится. В силу этого ряд
сходится абсолютно и поэтому его слагаемые можно располагать в любом порядке. Беря частные суммы ряда С в виде
и поэтому . <
на практике чаще всего суммируют по диагоналям бесконечной матрицы, как в (*).
Двойные ряды
Обобщением рассмотренной выше ситуации является следующая. Дана бесконечная матрица
.
Рассмотрим суммы . Рассмотрим двойной предел, когда m и n одновременно независимо друг от друга стремятся в + ¥ (более строгое определение понятия двойного предела смотрите в следующей главе):
,
который называется двойным рядом, и обозначается символом .
Кроме этого можно рассмотреть и так называемые повторные пределы, когда в + ¥ уходит сначала n, а потом т
,
или, наоборот, сначала т, а потом п
.
Они называются повторными рядами.
Теорема. Если из трех рядов
,
,
то сходятся и два остальные и верно равенство
=
=
.
Доказательство.
1. Пусть . Тогда очевидно, что
. Но
монотонно возрастает с ростом п, и, в силу ограниченности сверху, существует конечный предел
.
Но также монотонно возрастает с ростом т, и также ограничена сверху. Поэтому существует и повторный предел
и ряд сходится. Совершенно аналогично показывается сходимость ряда
.
2. Пусть теперь . Тогда
. Но
монотонно возрастают с ростом п и т, и, в силу ограниченности
сверху, существует двойной предел
.
3. Сравнивая полученные неравенства легко получить, что суммы всех этих трех рядов равны между собой
=
=
.
Но тогда ряды
,
,
.
Сходятся абсолютно, и, в силу этого, в них можно произвольно переставлять слагаемые, их суммы от этого не изменятся. Поэтому
=
=
. <
Бесконечные произведения
В заключение этой главы рассмотрим коротко достаточно экзотический раздел математического анализа - так называемые бесконечные произведения.
Определения.
Пусть имеем последовательность вещественных чисел , которые все отличны от нуля.Рассмотрим так называемые частные произведения
;
;
; …
.
Предел называется бесконечным произведением. Если этот предел существует, конечен и отличен от нуля, то говорят, что бесконечное произведение сходится, в противном случае - расходится.
Величина называется остаточным произведением после п-го сомножителя.
Свойства
1. Если бесконечное произведение сходится, то " п сходится и остаточное произведение. Наоборот, если какое-то остаточное произведение сходится, то сходится и само бесконечное произведение и верна формула
Доказательство.
А) Пусть существует . Но тогда
и, делая предельный переход N ® ¥, получим
.
Б) Пусть существует . Но тогда
и поэтому
.
2. Если бесконечное произведение сходится, то .
Действительно, и поэтому
.
3. Если бесконечное произведение сходится, то .
Действительно, и поэтому
.
Следствие. Если бесконечное произведение сходится, то, начиная с некоторого N, все .
Этими простейшими свойствами мы ограничимся.
Признаки сходимости
Теорема 1. для того, чтобы бесконечное произведение сходилось необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд .
Доказательство.
Имеем
;
;
.
Используя непрерывность логарифмической и показательной функций, получаем:
А) Þ
.
Б) Þ
. <
Так как , то представим
в виде
. Тогда
.
Теорема 2. Пусть, начиная с некоторого N, все . Тогда, для сходимости бесконечного произведения необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
.
Доказательство.
Так как ,то
. Далее, так как
, то ряды
и
сходятся или расходятся одновременно. <
Теорема 3. Из сходимости рядов и
следует сходимость бесконечного произведения.
Доказательство.
Примем без доказательства неравенство . Можете попытаться доказать его сами.
Далее, применяя правило Лопиталя, легко получить, что
.
Далее идет следующая цепочка следований:
Ряд сходится Þ ряд
также сходится. Но так как сходится ряд
, то сходится и ряд
Þ бесконечное произведение сходится. <
Еще кое-что
Бесконечное произведение называется абсолютно сходящимся, если
. Если ряд
сходится, но
, то бесконечное произведение
называется неабсолютно сходящимся
В абсолютно сходящемся произведении можно как угодно переставлять сомножители - от этого оно не изменится. В неабсолютно сходящемся произведении перестановка сомножителей может изменить значение бесконечного произведения.