Основные свойства операции сложения векторов

1. Сложение векторов обладает свойством переместительности:

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны проекции этих векторов на любую ось. Пусть - произвольная ось. По теореме о проекции суммы двух векторов на ось

и

Учитывая свойство переместительности сложения чисел, имеем

где - любая ось и потому, на основании критерия равенства двух векторов, .

2. Сложение векторов обладает свойством сочетательности, т.е.

.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны проекции этих векторов на любую ось. Пусть - произвольная ось. Применим теорему о проекции суммы двух векторов на ось:

Учитывая свойство сочетательности сложения чисел, имеем

где - любая ось. Следовательно, по критерию равенства векторов,

.

Определение. Суммой конечного числа векторов называется вектор, началом которого является начало первого из складываемых векторов, а концом - конец последнего, при этом разумеется, что начало каждого из складываемых векторов, начиная со второго, совмещено с концом предыдущего.

Теорема(о проекции суммы векторов на ось). Проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же ось, т.е.

где - произвольная ось.

Теорема легко может быть доказана методом математической индукции с учетом ранее доказанной теоремы о проекции суммы двух векторов на любую ось.

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР

Определение. Произведением вектора на скаляр называется вектор, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а направление совпадает с направлением вектора , если число положительно, и противоположно направлению вектора , если число отрицательно.

Произведение вектора на скаляр обозначается или . По определению:

1. ;

2. , если , , если ;

3. если , то ;

4. если , то .

Согласно определению, произведение вектора на скаляр есть вектор, коллинеарный вектору .

Теорема (о проекции на ось произведения вектора на скаляр). Проекция на ось произведения вектора на скаляр равна произведению этого скаляра на проекцию рассматриваемого вектора на ту же ось, т.е.

,

где - любая ось.

Доказательство. По теореме о проекции вектора на ось

,

где - орт оси . Если в правой части этого равенства воспользоваться определением понятия модуля произведения вектора на скаляр, то получим

(*)

При этом возможны следующие случаи:

1. .

В этом случае по определению модуля числа . Кроме того, при , и поэтому . Следовательно, в силу равенства (*) имеем

.

Если теперь в правой части последнего равенства воспользоваться свойством сочетательности умножения чисел и применить теорему о проекции вектора на ось, то получим

.

2.

В этом случае по определению модуля числа . Кроме того, при , т.е. и потому .

Исходя из равенства (*), приходим к выводу, что в рассматриваемом случае

,

и потому, как и при , имеем

.

В справедливости утверждения при предлагаем убедиться самостоятельно.