Смешанное произведение в координатной форме
 | (11) |
Пример 14.
Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3), В(0;–1;1), С(2;5;2),
D(3;0;–2). Найти объем пирамиды.
Решение:
Находим векторы 
, 
.
Находим 
.
Следовательно, 
.
Пример 15.
Точки А(1;2;1), В(–1;1;2), С(2;1;1), D(2;–1;1) являются вершинами тетраэдра. Проверить, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Найти объём тетраэдра; длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
Решение:
Найдём координаты векторов
следовательно, точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.
Объём тетраэдра:
Площадь основания тетраэдра ABCD:
Длина искомой высоты
Пример 16.
Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3), В(0;–1;1), С(2;5;2) и D(3;0;–2). Найти объем пирамиды.
Решение:
Находим векторы:
а=AB=(–1;–3;–2),
b=АС=(1;3;–1),
с=AD=(2;–2;–5).
Следовательно, 
.
Пример 17.
Даны вершины треугольника А(0;2;0), В(–2;5;0), С(–2;2;6). Найти его площадь.
Решение:
Пример 18.
Даны векторы 
Вычислить:
1) смешанное произведение векторов;
2) объём параллелепипеда, построенного на векторах 
3) объём тетраэдра, построенного на векторах 
Решение:
1) По формуле смешанного произведения
2) Объём параллелепипеда, построенного на векторах 
равен модулю смешанного произведения данных векторов
3) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах
Пример 19.
Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины
А(–2;–2;0), В(0;4;–1), С(1;2;1), D(–13;8;11)
Решение:
Вычислим смешанное произведение
Вычислим объём треугольной пирамиды 
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вопросы для самопроверки
1. Понятие вектора на плоскости и в пространстве.
2. Классификация векторов.
3. Линейные операции над векторами.
4. Координаты вектора.
5. Модуль вектора.
6. Проекция вектора на ось.
7. Линейные операции над векторами в координатной форме.
8. Скалярное произведение векторов, его свойства.
9. Векторное произведение векторов, его свойства.
10. Смешанное произведение векторов, его свойства.
Задания для самопроверки
1. Даны координаты вершин треугольника АВС
а) А(2;–-3;4), В(1;2;–1), С(3;–2;1)
б) А(1;4;3), В(2;3;5), С(2;5;1)
в) А(2;3;5), В(2;5;1), С(3;4;3)
г) А(10;–2;8), В(8;0;7), С(10;2;8)
д) А(–1;4;1), В(3;4;–2), С(5;2;–1)
е) А(1;1;5), В(–2;0;7), С(–-3;2;5)
ж) А(8;0;6), В(8;–4;6), С(6;–2;5)
з) А(7;–4;5), В(–1;8;–2), С(–12;–1;6)
и) А(2;3;4), В(–2;–3;–4), С(–2;3;4).
Найти:
Длины векторов 
.
Косинус угла между векторами 
и 
.
Проекцию вектора 
на вектор 
.
Площадь треугольника АВС, используя векторное произведение.
Сделать чертёж.
Задания для контрольной работы
Вариант 1 1. Даны вершины треугольника А(1;2;3), В(–1;3;2), С(7;–3;5). Найти: а) внутренний угол С, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины А на сторону СВ. 2. Даны вершины пирамиды A(3;1;4), B(–1;6;1), C(–1;1;6), D(0;4;–1). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора  на вектор  ; г) объем пирамиды. | Вариант 2 1. Даны вершины треугольника А(4;7;8), В(9;1;3), С(2;-4;1). Найти: а) внутренний угол В, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону ВА. 2. Даны вершины пирамиды A(3;3;9), B(6;9;1), C(1;7;3), D(8;5;8). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 3 1. Даны вершины треугольника А(10;3;1), В(1;4;2), С(3;9;2). Найти: а) внутренний угол А, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 2. Даны вершины пирамиды A(3;5;4), B(5;8;3), C(1;9;9), D(6;4;8). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 4 1. Даны вершины треугольника А(2;4;1), В (1;3;6), С(5;3;1). Найти: а) внутренний угол С, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины А на сторону СВ. 2. Даны вершины пирамиды A(2;4;3), B(7;6;3), C(4;9;3), D(3;6;7). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 5 1. Даны вершины треугольника А(8;2;3), В(4;6;10), С(3;–2;1). Найти: а) внутренний угол В, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону ВА. 2. Даны вершины пирамиды A(9;5;5), B(–3;7;1), C(5;7;8), D(6;9;2). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 6 1. Даны вершины треугольника А(2;7;3), В(3;1;8), С(2;–7;4). Найти: а) внутренний угол А, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 2. Даны вершины пирамиды A(0;7; 1), B(4; 1;53), C(4; 6; 3), D(3; 9;8). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 7 1. Даны вершины треугольника А(1;4;3), В(6;8;5), С(3;1;4). Найти: а) внутренний угол С, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины А на сторону СВ. 2. Даны вершины пирамиды A(5; 5; 4), B(3; 8;43), C(3; 5;109), D(5;8;2). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 8 1. Даны вершины треугольника А(1;7;3), В(3;4;2), С(4;8;5). Найти: а) внутренний угол В, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону ВА. 2. Даны вершины пирамиды A(6;1;14), B(4;6;3), C(4;2;0), D(1;2;6). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 9 1. Даны вершины треугольника А(3;–2;–5), В(4;–1;4), С(1;–2;2). Найти: а) внутренний угол А, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 2. Даны вершины пирамиды A(7;5;3), B(9;4;4), C(4;5;7), D(7;9;6). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 10 1. Даны вершины треугольника А(3;–3;1), В(1;3;–7), С(2;–1;5). Найти: а) внутренний угол С, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины А на сторону СВ. 2. Даны вершины пирамиды A(3;1;4), B(–1;6;1), C(–1;1;6), D(0; 4;–1). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 11 1. Даны вершины треугольника А(1;–2;3), В(4;7;2), С(6;4;2). Найти: а) внутренний угол В, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону ВА. 2. Даны вершины пирамиды A(3;3;9), B(6;9;1), C(1;7;3), D(8;5;8). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 12 1. Даны вершины треугольника А(7;2;1), В(4;3;5), С(3;4;–2). Найти: а) внутренний угол А, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 2. Даны вершины пирамиды A(3;5;4), B(5;8;3), C(1;9;9), D(6;4;8). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 13 1. Даны вершины треугольника А(1;2;3), В(–1;3;2), С(7;–3;5). Найти: а) внутренний угол С, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины А на сторону СВ. 2. Даны вершины пирамиды A(2;4;3), B(7;6;3), C(4;9;3), D(3;6;7). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 14 1. Даны вершины треугольника А(4;7;8), В(9;1;3), С(2;-4;1). Найти: а) внутренний угол В, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону ВА. 2. Даны вершины пирамиды A(9;5;5), B(–3;7;1), C(5;7;8), D(6;9;2). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 15 1. Даны вершины треугольника А(10;3;1), В(1;4;2), С(3;9;2). Найти: а) внутренний угол А, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 2. Даны вершины пирамиды A(0;7;1), B(4;1;5), C(4;6;3), D(3;9;8). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 16 1. Даны вершины треугольника А(2;4;1), В(1;3;6), С(5;3;1). Найти: а) внутренний угол С, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины А на сторону СВ. 2. Даны вершины пирамиды A(5;5;4), B(3;8;4), C(3;5;10), D(5;8;2). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 17 1. Даны вершины треугольника А(8;2;3), В(4;6;10), С(3;–2;10). Найти: а) внутренний угол В, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону ВА. 2. Даны вершины пирамиды A(6;1;1), B(4;6;6), C(4;2;0), D(1;2;6). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 18 1. Даны вершины треугольника А(2;7;3), В(3;1;8), С(2;–7;4). Найти: а) внутренний угол А, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 2. Даны вершины пирамиды A(7;5;3), B(9;4;4), C(4;5;7), D(7;9;6). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 19 1. Даны вершины треугольника А(1;4;3), В(6;8;5), С(3;1;4). Найти: а) внутренний угол С, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины А на сторону СВ. 2. Даны вершины пирамиды A(3;–2;–5), B(4;–1;4), C(–1;1;6), D(0;4;–1). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 20 1. Даны вершины треугольника А(1;7;3), В(3;4;2), С(4;8;5). Найти: а) внутренний угол В, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону ВА. 2. Даны вершины пирамиды A(3;3;9), B(6;9;1), C(1;7;3), D(8;5;8). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 21 1. Даны вершины треугольника А(3;–2;–5), В(4;–1;4), С(1;–2;2). Найти: а) внутренний угол А, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 2. Даны вершины пирамиды A(3;5;4), B(5;8;3), C(1;9;9), D(6;4;8). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 22 1. Даны вершины треугольника А(3;–3;1), В(1;3;–7), С(2;–1;5). Найти: а) внутренний угол С, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины А на сторону СВ. 2. Даны вершины пирамиды A(2;4;3), B(7;6;3), C(4;9;3), D(3;6;7). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
| Вариант 23 1. Даны вершины треугольника А(1;–2;3), В(4;7;2), С(6;4;2). Найти: а) внутренний угол В, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины С на сторону ВА. 2. Даны вершины пирамиды A(9;5;5), B(–3;7;1), C(5;7;8), D(6;9;2). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. | Вариант 24 1. Даны вершины треугольника А(7;2;1), В(4;3;5), С(3;4;–2). Найти: а) внутренний угол А, используя скалярное произведение; б) длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 2. Даны вершины пирамиды A(0;7;1), B(4;1;5), C(4;6;3), D(3;6;8). Найти: а) угол между ребрами АВ и АD; б) площадь грани АВС; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды. |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – М.: Оникс, 2008. – 816 с.
2. Зайцев, И.А. Высшая математика: учебник / И.А.Зайцев. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2004. – 400 с.
3. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие / В.А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – М.: АСТ, 2008. – 654с.
4. Минорский, К.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.П. Минорский. – 15-е изд.–М.: Физматлит, 2008. – 336 с.
5. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике (в 2 ч.) Ч.1 / Д.Т. Письменный. – 7-е изд.–М.: Айрис-пресс, 2007. – 288 с.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 3
Требования к оформлению контрольной работы.. 3
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.. 4
Классификация векторов. 4
Линейные операции над векторами. 4
Проекция вектора на ось. 5
Линейные операции над векторами в координатной форме. 7
Направляющие косинусы.. 8
2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.. 11
Свойства скалярного произведения. 11
3. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.. 13
Свойства векторного произведения. 14
4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.. 16
Свойства смешанного произведения. 16
Смешанное произведение в координатной форме. 17
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.. 20
Вопросы для самопроверки. 20
Задания для самопроверки. 20
Задания для контрольной работы.. 21
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 25