Векторное произведение в координатах.
Найдем формулы вычисления векторного произведения векторов, если векторы заданы координатами:
;
.
По свойствам векторного произведения
=
. (2)
По свойству 1 векторного произведения
,
,
.
Векторы образуют правую тройку, круговая перестановка векторов (рис. 3) ориентации не меняет, поэтому
,
,
.
Перестановка соседних векторов меняет ориентацию (рис. 10), поэтому
,
,
.
Подставим векторные произведения базисных векторов в равенство (2), получим
.
Последнее равенство есть не что иное, как разложение определителя по первой строке
.
Поэтому
(3)
– формула вычисления векторного произведения в координатах.
Найдем формулу вычисления в координатах площади параллелограмма, построенного на векторах и
(рис. 5). По формуле (1)
,
т. е. площадь параллелограмма, построенного на векторах и
, равна модулю определителя, первая строка которого – базисные вектора, а вторая и третья – координаты векторов
и
.
Если векторы лежат на плоскости , т.е.
,
,
;
,
то площадь параллелограмма, построенного на векторах и
равна
.
Геометрический смысл определителя второго порядка: его модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах, координаты которых расположены в строках определителя.
Пример 1. Даны точки ,
,
. Найти площадь треугольника АВС.
![]() |
Решение. Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и
(рис. 11). Найдем векторы
,
.
Тогда из геометрического смысла определителя второго порядка площадь параллелограмма
.
Ответ:
3. Смешанное произведение векторов, его свойства. Признак компланарности векторов. Смешанное произведение в координатах.
Определение2. Смешанным произведением трех векторов ,
и
называется число
, равное скалярному произведению вектора
на векторное произведение векторов
и
, то есть
.
Найдем геометрический смысл модуля смешанного произведения. Объем параллелепипеда, построенный на векторах (из рис. 12)
,
,
,
.
При этом знак « » необходим, чтобы длина высоты была положительной. Тогда
.
Таким образом, абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах.
Найдем формулы для вычисления смешанного произведения векторов, если векторы заданы координатами:
,
,
.
Тогда
.
Скалярное произведение вектора на векторное произведение
.
– формула вычисления смешанного произведения в координатах.
Учитывая формулу для вычисления смешанного произведения в координатах, получаем геометрический смысл определителя третьего порядка:
, (4)
модуль определителя равен объему параллелепипеда, построенного на векторах, координаты которых расположены в строках определителя.