Элементы алгебры матриц
Лекция 1. Матрицы. Основные определения и правила действия.
Определение 1. Матрица это прямоугольная таблица элементов, имеющая строк и
столбцов
(1)
Матрица (1) называется прямоугольной матрицей размером . Каждый элемент матрицы нумеруется двумя индексами. Первый индекс
обозначает номер строки. Второй индекс
обозначает номер столбца. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор - строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор – столбцом.
Если число строк равно числу столбцов , то такую матрицу называют квадратной матрицей размером
.
Пример 1.Матрица размером имеет 2 строки и 3 столбца
Матрица размером (3 2) имеет 3 строки и 2 столбца
.
Пример 2. Элемент расположен на пересечении второй строки и третьего столбца. Элемент
расположен на пересечении третьей строки и второго столбца. Элемент
расположен на пересечении
-ой строки и
-го столбца.
Определение 2.Матрицы обозначаются заглавными буквами.Например, матрица , матрица
. Две
- матрицы
и
равны, если соответствующие элементы матриц равны. То есть
для всех
. Между матрицами разных размеров равенства быть не может.
Элементы алгебры матриц.
Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется
-матрица , элементами которой являются суммы соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом С=А+В если
для всех
.
Пример 3. Вычислить сумму матриц
Решение.
;
Замечание. Матрицы разных размеров складывать нельзя.
Определение 3.Чтобы умножить число на матрицу
нужно каждый элемент матрицы
умножить на число
.
Определение 4.Выражение , где
-числа, а
- матрицы называют линейной комбинацией матриц
и
.
Правило 1. Умножение вектор строки на вектор – столбец.
Чтобы перемножить вектор- строку на вектор-столбец с одинаковым числом элементов нужно перемножить первый элемент строки на первый элемент столбца, второй элемент строки на второй элемент столбца ит.д. и затем полученные произведения сложить.
Пример 4. Пусть заданы: вектор- строка и вектор- столбец
требуется перемножить А на В.
РЕШЕНИЕ. =
.
Правило 2. Умножение матрицы А размером ( ) на матрицу В размером (
).
При умножении матрицы А размером на матрицу В размером
получается матрица С размером
. Причем элемент
матрицы С получается перемножением
ой строки А матрицы и
го столбца В матрицы.
Замечание.Правило 2 говорит нам о том, что если число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго сомножителя, то такие матрицы перемножать можно .
Пример 5. Перемножить матрицы А и В
РЕШЕНИЕ. Условия перемножения матриц выполнены. Начнём с вычисления элемента . Нужно первую строку А матрицы умножить на первый столбец В матрицы:
=
. Чтобы вычислить элемент
нужно первую строку А матрицы умножить на второй столбец В матрицы:
=
.
Чтобы вычислить элемент нужно первую строку А матрицы умножить на третий столбец
матрицы В матрицы: =
.
Остальные элементы С матрицы находим аналогично. Рекомендуем читателю самостоятельно их вычислить.
Ответ: .
Пример 6. Умножение столбца на строку. Перемножить .
Решение. Выписываем правило . В результате должна получиться матрица
С размером (сравните с результатом умножения строки на столбец ( см. пример 1.4))
Ответ: .
Пример 6. Умножение матрицы на столбец.Перемножить
Решение. Выписываем правило . Перемножать можно. В результате получается матрица-столбец размером
. Выписываем ответ
=
Квадратные матрицы.
Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов ,называется
квадратной матрицей. Матрицу размером называют матрицей 2-го порядка.
Матрицу размером называют матрицей 3-го порядка и так далее.