Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях

Определения

Система m линейных уравнений с n неизвестными(или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,	(1)
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, cn⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, cn⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Матричная форма Править

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или, согласно правилу перемножения матриц,

AX = B.

Методы решения системы (1) Править

Прямые методы Править

§ Метод Гаусса

§ Метод Жордана-Гаусса

§ Метод Крамера

§ Матричный метод

§ Метод прогонки - Для трехдиагональных матриц

Приближенные методы Править

§ Метод Якоби (метод итераций)

§ Метод Зейделя

§ Метод релаксации

§ Многосеточный метод

Теорема Крамера.

Метод Крамера (Крамера правило) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причем для таких уравнений решение существует и единственно).

Описание метода

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем) (число уравнений совпадает с числом переменных).

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде:

,

где

.

(i-й столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

Ранг матрицы.

Рангом матрицы A называется наибольший из порядков миноров матрицы A , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Алгоритм вычисления ранга матрицы:

• матрица приводится к ступенчатому с помощью элементарных преобразований;
• количество ненулевых строк в полученной матрице будет равно рангу первоначальной матрицы.

Свойства ранга матрицы:

• ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров;
• ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица нулевая;
• ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть все нулевые строки и столбцы;
• ранг матрицы не изменится при ее транспонировании;
• элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга

Элементарные преобразования матрицы.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Определение

Элементарными преобразованиями строк называют:

§ перестановка местами любых двух строк матрицы;

§ умножение любой строки матрицы на константу , ;

§ прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).

Свойства

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). Если , то .

Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:

§ перестановку уравнений;

§ умножение уравнения на ненулевую константу;

§ сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.

Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях). Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.

Напомним, что две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.