Оценка точности прямых и косвенных измерений

МЕХАНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2009 г.

Цель работы - обработать данные прямых и косвенных измерений физических величин.

Общие сведения

Сила тока I, текущего по металлическому проводнику (при отсутствии сторонних сил), пропорциональна падению напряжения U на проводнике:

I = U/R.

Величина R называется сопротивлением проводника и зависит от его формы, размеров, а также свойств материала, из которого он изготовлен. Сопротивление однородного цилиндрического проводника

, (1)

где - длина проводника; S - площадь его поперечного сечения; r - удельное сопротивление.

В системе СИ r измеряется в ом-метрах (Ом×м). Удельное сопротивление характеризует способность вещества проводить электрический ток и зависит от химической природы вещества и условий, в которых находится проводник.

Из формулы (1) очевидно, что

Площадь поперечного сечения S рассчитывается по измеренному значению диаметра d: Сопротивление R вычисляется по измеренным значениям напряжения U и тока I в цепи согласно закону Ома: R = U/I.

Таким образом, значения величин l, d, U, I можно получить в результате прямых измерений, а удельное сопротивление можно вычислить по формуле

(2)

Чтобы определить величину удельного сопротивления, необходимо знать длину , диаметр проволоки d, напряжение U и силу тока I. Каждую из этих физических величин можно измерить непосредственно соответствующими приборами (прямые измерения). Величина удельного сопротивления r непосредственно не измеряется, а вычисляется по формуле (косвенные измерения).

Величины , d, U и I измеряются соответствующими приборами с определенной точностью. В общем случае результат любого измерения величины х представляют в виде

где - погрешность или ошибка в измерениях х.

Для однократных измерений за величину ошибки принимается систематическая погрешность, которую вносит сам прибор, а средним считается измеренное значение физической величины.

Измерения длины и диаметра d проволоки проводится с использованием маркированных шкал линейки, штангенциркуля и микрометра. Погрешность измерения линейкой определяется как половина цены наименьшего деления. Погрешность измерения штангенциркулем и микрометром указана на приборах.

В наших измерениях диаметра исследуемого куска проволоки возможна неоднозначная ситуация. Вполне вероятно, что диаметр не одинаков по всей длине проволоки. Если измерения проводятся штангенциркулем или более грубо линейкой, то может показаться, что он везде одинаков. Это понятно, так как погрешность указанных приборов достаточно велика, чтобы почувствовать незначительные изменения диаметра проволоки. В этом случае величину d следует воспринимать, как результат однократного измерения со средней величиной и с поправкой Dd, принятой за точность прибора.

Измеряя диаметр прибором более точным, например микрометром, получим серию результатов: , где n - число измерений. Как величина случайная диаметр варьирует около некоторого среднего значения, которое определяется как среднее арифметическое:

.

Величина средней абсолютной ошибки

. (3)

В случае, если она меньше точности используемого прибора, то за величину абсолютной ошибки следует принять последнюю.

Измерения величины тока I и напряжения U проводят с помощью электроизмерительных приборов (амперметра и вольтметра). Точность этих приборов характеризуют приведенной погрешностью

где х_пр - наибольшее значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.

Приведенная погрешность, измеренная в процентах, определяет класс точности прибора (указан на шкале).

Абсолютная погрешность прибора в любом месте шкалы

(4)

где К - класс точности прибора.

Какова же будет погрешность косвенного определения удельного сопротивления по результатам прямых измерений величин, входящих в формулу (2)?

Известно, что для нахождения среднего значения функции, например y = f(x, z), нужно вычислить ее значение в точках С учетом этого, используя среднее значение удельного сопротивления в виде найдем относительную погрешность

(5)

Отсюда

. (6)

Погрешности в определении r, определенные формулами (5) и (6), представляют собой верхний предел систематических и случайных ошибок. Но погрешности, рассчитанные на основании указанных правил, могут быть неоправданно завышенными.

Считается, что если погрешности прямых измерений каждой из определяемых величин (в нашем случае I, U, и d) независимы, случайны и подчиняются нормальному закону распределения, то более реалистичной (и меньшей) оценкой окончательной погрешности результата измерения является средняя квадратичная ошибка s.

В нашем случае при прямых однократных измерениях I, U и за среднюю квадратичную ошибку принимается погрешность прибора. Результаты прямых многократных измерений диаметра проволоки будут иметь среднюю квадратичную ошибку

. (7)

При косвенных измерениях (в нашем случае измерение r) средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле:

. (8)

где - частная производная функции r(I, U, , d) по каждой из переменных, рассчитанная по средним значениям прямых измерений:

(9)

Несложно убедиться, что в результате подстановки выражений (9) в уравнение (8) получим

(10)

Порядок выполнения работы

Для определения удельного сопротивления отрезка проволоки используется простейшая электрическая цепь (см. рисунок), которая состоит из источника тока e, амперметра A, вольтметра V и исследуемого участка АВ.

Последовательность проведения эксперимента следующая:

1) измерить с помощью штангенциркуля диаметр проволоки d в 10-12 точках и определить погрешность d (табл.1);

2) повторить измерения d с помощью микрометра (табл.1);

3) выполнить измерения тока I и напряжения U для десяти значений длины (измерения проводить в точках проводника от 0,1 до ) (табл. 2);

Таблица 1

Физ. величина	Dd1	d d2	Dd3	...	dn		Dd	sd
Ед. измерения Прибор
Штангенциркуль
Микрометр

4) определить погрешность электрических приборов по классу точности (формула (4)) и занести в табл.2.

Таблица 2

Физ. величина		D	I	DI	U	DU	R	DR	sR
Ед. измерения Номер опыта
. . .

Обработка результатов измерений проводится следующим образом:

1. По результатам измерений диаметра проволоки рассчитать его среднее значение . Определить среднюю абсолютную (Dd) и среднюю квадратичную (s_d) погрешности измерения диаметра по формулам (3) и (7).

2. Используя полученные данные для тока и напряжения, вычислить значение сопротивления R.

3. Вывести формулы и вычислить погрешности косвенного измерения сопротивления DR и s_R. Считать, что DI = s_I и DI = s_U.

4. Построить график зависимости R = R( ). Экспериментальные точки нанести на координатную плоскость, откладывая по оси х величину , а по оси у соответствующее ей сопротивление R. Каждую точку изобразить с указанием погрешностей D и DR, как пересечение двух отрезков длиной 2D вдоль оси х и 2DR вдоль оси у с центрами в измеренных значениях.

5. Определить графически среднее значение удельного сопротивления:

где

6. Вычислить погрешности Dr и s_r результатов косвенного определения удельного сопротивления, используя формулы (6) и (10) соответственно.

Результаты измерения удельного сопротивления следует представить в виде и

Контрольные вопросы

1). Что называют прямыми измерениями?

2). Чему равна абсолютная, относительная и средняя квадратичная ошибки прямых измерений?

3). Что называют косвенными измерениями?

4). Чему равна максимальная абсолютная, относительная и средняя квадратичная ошибки косвенных измерений?

5). Как определяются погрешности, вносимые различными измерительными приборами?

6). Что такое класс точности прибора?

Штангенциркуль

Штангенциркуль предназначен для измерения длины до 150-500 мм, с точностью до 0.1 или 0.05 мм.

Штангенциркуль состоит из масштабной линейки – Мс выступомА,называемым губкой,и подвижной рамки К,с другой губкойВ. Рамка передвигается вдоль масштабной линейки, часть рамки снабжена нониусом.

Измеряемый объект зажимается между губками масштабной линейки и рамки.

Нуль масштабной линейки смещен на некоторое расстояние от плоскости губки А,на такое же расстояние смещен и нуль нониуса относительно плоскости губки В на рамке К. Таким образом, измеряемая длина предмета равна расстоянию между нулем масштабной линейки и нулем нониуса.