Распределение по скоростям
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА–БОЛЬЦМАНА
Получим распределение частиц идеального газа при температуре T во внешнем поле по координатам, скоростям, импульсам и энергии.
Распределение по скоростям без внешнего поля получил Дж. Уотерстон в 1843 г. и Джеймс Максвелл в 1859 г.
Распределение по импульсам и координатам во внешнем поле установил Людвиг Больцман в 1866 г.
Распределение по скоростям, импульсам и энергии без внешнего поля называется распределением Максвелла.
Распределение по координатам во внешнем поле – распределением Больцмана.
Распределение по координатам и импульсам
N тождественных частиц идеального газа во внешнем поле при фиксированных температуре и объеме описываются каноническим распределением
,
где
(2.17)
– каноническое распределение частицы ;
.
Для трехмерного газа с поступательным движением во внешнем поле с потенциальной энергией используем
,
,
.
Кинетическая энергия, зависящая от импульса, и потенциальная энергия, зависящая от координат, являются слагаемыми гамильтониана. В каноническом распределении гамильтониан находится в показателе экспоненты. Поэтому распределения по координатам и импульсам являются сомножителями в результирующем распределении
,
,
где
– распределение Максвелла, т. е. вероятность обнаружения импульса частицы в единичном интервале около значения p;
- распределение Больцмана, т. е. вероятность обнаружения координаты частицы в единичном интервале около значения r.
Распределение Максвелла
Частицы в газе при температуре T имеют различные скорости, вызванные тепловым движением – от очень малых до сколь угодно больших. Для трехмерного идеального газа атомов без внешнего поля учитываем лишь поступательное движение. Получим распределения по импульсам, скоростям, энергиям в декартовых и сферических координатах.
Распределение по импульсам
В декартовых координатах
,
,
.
Каноническое распределение для частицы
получает вид
.
Интегрируем по координатам, учитываем , тогда
(2.41а)
– вероятность обнаружения частицы с импульсом в интервале , где
.
Распределение по скоростям
В (2.41а) заменяем
,
,
находим распределение по трем проекциям скорости
(2.41)
– вероятность обнаружения частицы со скоростями в интервале .
Интегрируем (2.41) по и
в пределах (–¥, ¥), используем интеграл Пуассона
,
,
получаем вероятность обнаружения частицы с проекцией скорости в интервале
, (2.42)
где функция распределения по проекции скорости
(2.42а)
– относительное число частиц с проекцией скорости в единичном интервале около ;
n – концентрация частиц – число частиц в единице объема со всеми скоростями;
– концентрация частиц со скоростями в интервале
около
;
– концентрация частиц со скоростями в единичном интервале около
;
.
Выполняется нормировка
,
,
.
Следовательно:
· площадь под кривой – единица;
· с ростом Т максимум понижается, график расширяется, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью;
· при все частицы останавливаются
.