Кондактанс баллистического проводника

Кондактанс G (от англ. conductance – проводимость) – полная проводимость проводника, величина обратная сопротивлению

, ,

. (4.62)

Баллистический проводник (от греч. βάλλω – бросать) имеет протяженность, меньшую длины свободного пробега, и электроны пролетают его без рассеяния. Это происходит, например, при комнатной температуре в углеродных нанотрубках диаметром 5–25 нм, длиной до 10 мкм или в гетероструктуре GaAs–AlGaAs длиной до 100 мкм, при температуре 0,5 К с двумерным электронным газом в слое толщиной 5 нм. Отсутствие рассеяния зарядов не означает обращения сопротивления в нуль. Сопротивление баллистического проводника вызвано ограниченностью объема фазового пространства состояний, переносящих ток. Ограничение фазового объема происходит за счет концов баллистического проводника в местах соединения с обычным проводником, там и возникает сопротивление. В пределах баллистического проводника падение напряжения отсутствует.

Кондактанс баллистического проводника не зависит от материала проводника и его длины, а зависит от поперечного размера, сравнимого с длиной волны де Бройля. Кондактанс пропорционален числу поперечных мод, т. е. независимых видов поперечного движения, и выражается через мировые постоянные формулой Ландауэра (1970 г.). Эффективный поперечный размер и кондактанс баллистического проводника можно изменять электрическим полем затвора. Такое устройство – квантовый точечный контакт предложил Юрий Васильевич Шарвин в 1965 г. Он же впервые исследовал баллистический проводник.

Рольф Ландауэр (1927–1999)

Известен принцип Ландауэра (1961 г.) – в любой вычислительной системе потеря 1 бита информации приводит к выделению тепла

, при .

Это минимальная энергия, необходимая для обработки 1 бита информации, т. е. высота барьера, разделяющая два состояния электрона.

Формула Ландауэра. Баллистический проводник соединен с термодинамически равновесными контактами 1 и 2, на которые подана разность потенциалов . Резервуары электронов 1 и 2 сообщаются с контактами и поддерживают их заполненность электронами до уровней Ферми и при низкой температуре. Напряжение создает электрохимические потенциалы электронного газа в контактах

,

,

,

и вызывает в проводнике электрический ток.

Зоны проводимости устройства

При низкой температуре каждое состояние ниже уровня Ферми заполнено одним электроном. Число электронов , прошедших проводник, равно числу состояний n одномерного движения с учетом кратности вырождения

,

где учитывает две проекции спина электрона и поперечных мод проводника, то есть уровней энергии поперечного квантования. В результате

.

Каждое состояние одномерного движения занимает фазовый объем h, тогда число состояний

.

Для получения фазового объема дифференцируем

,

находим

.

Для электронов, прошедших проводник и , тогда фазовый объем

,

где – время движения электрона по проводнику. В результате число прошедших электронов

.

Прошедший заряд создает ток

,

. (4.63)

Сопротивление и кондактанс между резервуарами 1 и 2 описывает формула Ландауэра

,

. (4.64)

Величины не зависят от длины и материала проводника. Для одномодового баллистического проводника при низкой температуре

, . (4.65)

Величина равна кванту сопротивления (1.36), рассмотренному ранее. Множитель 2 связан с двумя проекциями спина электрона.

Число поперечных мод равно числу видов движений, перпендикулярных проводнику и отличающихся длиной волны. На непроницаемых стенках проводника волновая функция имеет узлы, и на поперечном сечении проводника шириной d укладывается целое число полуволн стоячей волны, тогда

.

При низких температурах активированы состояния около уровня Ферми. Энергия частицы складывается из энергий поперечного и продольного движений, тогда

.

С учетом

,

находим минимальную длину волны, соответствующую и равную . Рост увеличивает . Перераспределение фиксированной энергии между продольным и поперечным движением создает число поперечных мод

, (4.66)

где […] означает целую часть. Для полевого транзистора шириной с получаем и .

На сочленениях цепи, где широкий резервуар соприкасается с узким проводником, моды перестраиваются, меняется их число и их длины волн. Сопротивление баллистического проводника, находящегося междурезервуарами, вызвано перестройкой поперечных мод в местах сочленения. Если они симметричные, то, согласно (4.65)

,

каждое сочленение с одномодовым проводником создает сопротивление

.

Приложенное напряжение падает на сочленениях, а не на баллистическом проводнике, как показано на рис. 4.6.

Из (4.64) для одной проекции спина

,

и из (4.66) получаем проводимость Шарвина

, (4.67)

где d – ширина проводника.

Согласно (4.64) и (4.66)

увеличение ширины проводника повышает проводимость скачком на G₁ каждый раз, когда появляется очередная мода, т. е. при выполнении

, (4.68)

где – целое число.

В эксперименте 1988 г. (B.J. van Wees, H. van Houten et al. Phys. Rev. Lett. 60, 848) изменялось число поперечных мод электронного газа в гетероструктуре , показанной на рис. а. Двухмерный электронный газ изображен серой полосой 2. Газ соединен с резервуарами электронов 1 и 5. Параметры газа: ; ; концентрация электронов ; длина свободного пробега . На электроды 3 и 4, расположенные над слоем на расстоянии друг от друга, подается одинаковый и варьируемый потенциал . Электроды образуют расщепленный затвор. Поле затвора «выдавливает» электроны газа из области вблизи электродов и сужает область, доступную для движения по оси y.

а б

(а) – контакт с расщепленным затвором 3-4,

(б) – зависимость кондактанса от ширины контакта

Баллистический проводник с расщепленным затвором образует квантовый точечный контакт, контролирующий число поперечных мод путем вариации эффективной ширины контакта d. Зависимость кондактанса от d при показана на рисунке б сплошной линией. При монотонном росте d каждый раз, когда достигается выполнение (4.68), величина кондактанса увеличивается скачком на . Шаг эффективной ширины в проведенном эксперименте составлял . При повышении температуры уровень Ферми и размываются, ступени графика получают наклон, показанный пунктиром. При , где – энергия поперечного квантования, ступени графика сглаживаются, он превращается в прямую линию, соответствующую классической зависимости – проводимость пропорциональна ширине проводника.